Vlnová rovnice

Vlnová rovnice je významnou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu hyperbolického typu, která charakterizuje dynamiku vlnění, ať už v akustice, optice, elektromagnetismu či mechanice.

Puls na struně s upevněnými konci modelovaný jednorozměrnou vlnovou rovnicí.

Vlnová rovnice obecně

Vlnovou homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{n}^{2}}}}$

nebo ekvivalentně ve tvaru pomocí Laplaceova operátoru:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z}$

kde ${\displaystyle z}$ představuje skalární funkci polohy a času.

V obecnějším tvaru má vlnová rovnice nehomogenní vyjádření:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z+f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$.

Vlnová rovnice v elektromagnetismu

Vlnové rovnice popisující šíření proudových resp. napěťových vln v čase ${\displaystyle t}$ po homogenním elektrickém vedení s rozloženými parametry o délce ${\displaystyle l}$:

Element dx elektrického vedení modelovaný Г-článkem.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}i\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}i\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}i\left(t,x\right)-A\ i\left(t,x\right)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}u\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}u\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}u\left(t,x\right)-A\ u\left(t,x\right)=0}$

${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\text{LC}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}$${\displaystyle B=\left(RC+LG\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}$${\displaystyle A=RG}$

řešitelné při znalosti soustavy počátečních podmínek resp. okrajových podmínek I. druhu:

${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,i\left(0,x\right)\equiv \psi _{i}\left(x\right)\,\,\,\,}$ resp. ${\displaystyle i\left(t,0\right)\equiv \mu _{i}\left(t\right)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}i\left(0,x\right)\equiv {\dot {\psi _{i}}}\left(x\right)\,\,\,\,\,}$ resp. ${\displaystyle i\left(t,l\right)\equiv \nu _{i}\left(t\right)}$

${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,u\left(0,x\right)\equiv \psi _{u}\left(x\right)\,\,\,}$ resp. ${\displaystyle u\left(t,0\right)\equiv \mu _{u}\left(t\right)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u\left(0,x\right)\equiv {\dot {\psi _{u}}}\left(x\right)\,\,\,}$ resp. ${\displaystyle u\left(t,l\right)\equiv \nu _{u}\left(t\right)}$

mají následující partikulární řešení pro fázory proudu a napětí splňující podmínky ${\displaystyle \mu }$ resp. ${\displaystyle \nu }$:

${\displaystyle \mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{i}\left(x\right)}$

${\displaystyle \mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{u}\left(x\right)}$

resp.

${\displaystyle \mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{i}\left(x\right)}$

${\displaystyle \mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{u}\left(x\right)}$

kde:

${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=\left(R+j\omega L\right)\left(G+j\omega C\right)=\mathbf {Z} \ \mathbf {Y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}$${\displaystyle \mathbf {Y} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Y} }{\mathbf {Z} }}}}$

a ${\displaystyle R,L,G,C}$ jsou parametry vedení (rezistance, indukčnost, konduktance, kapacita) a ${\displaystyle \omega }$ je úhlová frekvence sítě.

Související články

• Vlnění
• Schrödingerova rovnice

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vlnová rovnice na Wikimedia Commons
• Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě