Lineární funkce

Lineární funkce je každá funkce ${\displaystyle f}$, která je dána předpisem ${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$; kde ${\displaystyle a,b\in R}$. Její obor hodnot na celém jejím definičním oboru rovnoměrně klesá nebo roste, anebo je konstantní. Grafem lineární funkce je přímka. Je-li ${\displaystyle a=0}$, funkce se nazývá konstantní: ${\displaystyle y=f(x)=b}$; je-li ${\displaystyle b=0;}$ pak funkce se nazývá přímá úměrnost: ${\displaystyle y=f(x)=ax}$ . Například: ${\displaystyle y=-2x+0,2;y=5;}$ nebo ${\displaystyle y={\frac {1}{5}}x}$ .^[1]

Definice

Lineární funkce je taková funkce ${\displaystyle f}$ na množině ${\displaystyle R}$ (${\displaystyle D_{f}=R}$), která lze vyjádřit předpisem: ${\displaystyle f:y=ax+b,}$ kde ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ jsou konstanty.

Vlastnosti

Související informace naleznete také v článcích Funkce (matematika) a Konstantní funkce.

Lineární funkce
Lineární funkce ${\displaystyle y=ax+b}$	Lineární funkce konstantní ${\displaystyle y=b}$	Přímá úměrnost ${\displaystyle y=ax}$
Grafem je přímka procházející bodem ${\displaystyle \left[0;b\right]}$ Je rostoucí (klesající) v celém ${\displaystyle D_{f}}$a tedy prostá. Není shora ani zdola omezená. Nemá maximum ani minimum.	Grafem je přímka rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ a procházející bodem${\displaystyle \left[0;b\right]}$ Není rostoucí ani klesající, je omezená. Pro každé ${\displaystyle x\in D_{f}}$ má maximum i minimum.	Grafem je přímka procházející bodem 0${\displaystyle \left[0;0\right]}$ Je rostoucí (klesající) v celém ${\displaystyle D_{f}}$a tedy prostá. Není shora ani zdola omezená. Je lichá funkce. Nemá maximum ani minimum.[1]

• lineární funkce je uzavřená na skládání
• lineární funkce není ohraničená ani periodická
• pro ${\displaystyle a>0}$ je lineární funkce rostoucí, pro ${\displaystyle a<0}$ je klesající
• lineární funkce je konvexní i konkávní a na žádném intervalu není ryze konvexní ani ryze konkávní
• lineární funkce je spojitá
• lineární funkce má v každém bodě derivaci, která je rovna její směrnici
• primitivní funkce k lineární funkci je kvadratická funkce
  • příklad: ${\displaystyle \int (3x+2)\,dx={3 \over 2}x^{2}+2x+C}$

Způsoby zadání lineární funkce

Související informace naleznete také v článku Funkce (matematika).

Lineární funkce s absolutní hodnotou

Lineární funkce s absolutní hodnotou

Související informace naleznete také v článku Absolutní hodnota.

Lineární funkce s absolutními hodnotami jsou takové lineární funkce, které mají v předpisu funkce jednu nebo více absolutních hodnot, ve kterých jsou výrazy s proměnnou.

Například: ${\displaystyle y={1 \over 4}(-x+4|x+3|-6|x|+5|x-3|-15)}$, graf této funkce je na obrázku vpravo.

Absolutní hodnota je pro nezáporné argumenty totožná s funkcí ${\displaystyle f:y=x;}$ pro ${\displaystyle x\geq 0}$, pro záporné argumenty je totožná s funkcí ${\displaystyle f:y=-x;}$ pro ${\displaystyle x<0}$. Zápis funkce ${\displaystyle f:y=|x|}$ .^[2]