Konstantní funkce

V matematice se pojmem konstantní funkce označuje taková funkce, jejíž funkční hodnota je v celém definičním oboru stejná, tedy konstantní. Například funkce f(x) = 4 je konstantní.

Graf konstantní funkce y(x)=0

Definice

Funkce ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ je konstantní, pokud

${\displaystyle \forall x,y\in A\;:f(x)=f(y)}$

nebo ekvivalentně

${\displaystyle (A=B=\emptyset )\lor (\exists y\in B\;\forall x\in A\;:f(x)=y).}$

Vlastnosti

• pro ${\displaystyle B\neq \emptyset }$ a libovolné ${\displaystyle A}$ vždy nějaká konstantní funkce ${\displaystyle f:A\to B}$ existuje
• grafem reálné konstantní funkce definované pro všechna reálná čísla je přímka rovnoběžná s osou x
• je-li ${\displaystyle f}$ konstantní a ${\displaystyle g}$ libovolná funkce, jsou jejich složení ${\displaystyle f\circ g}$ jakož i ${\displaystyle g\circ f}$ rovněž funkce konstantní
• konstantní funkce (reálné i komplexní proměnné) má v každém vnitřním bodě definičního oboru derivaci rovnou nule
• funkce je neklesající a nerostoucí zároveň, právě když je konstantní
• v komplexním oboru je konstantní funkce je jediným typem celé funkce, která je omezená (Liouvilleova věta)
• primitivní funkce ke konstantní funkci na otevřeném intervalu reálných čísel je lineární funkce
  • příklad: ${\displaystyle \int 4\,dx=4x+C}$

Související články

• Monotónní funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu konstantní funkce na Wikimedia Commons