Linearita derivace

V diferenciálním počtu se derivace libovolné lineární kombinace funkcí rovná stejné lineární kombinaci derivací funkcí;^[1] Tato vlastnost je známa jako linearita derivace, pravidlo linearity^[2] nebo princip superpozice pro derivaci.^[3] Linearita je stěžejní vlastností derivace, která zahrnuje dvě jednodušší pravidla pro derivaci, součtové pravidlo pro derivaci (derivace součtu dvou funkcí se rovná součtu derivací) a derivace násobku funkce (derivace konstantního násobku funkce se rovná násobku derivace stejnou konstantou).^[4][5] Můžeme tedy říct, že derivování je lineární zobrazení, z čehož vyplývá, že i diferenciální operátor je lineární zobrazení.^[6]

Tvrzení a odvození

Nechť f a g jsou funkce, a α a β konstanty. Nyní uvažujme:

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))}$

Pomocí součtového pravidla pro derivaci dostáváme:

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x))}$

Použitím pravidla pro derivaci násobku funkce dostaneme:

${\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

odtud

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

Vynecháním závorek a použitím alternativní notace pro zápis derivace dostáváme tvar:

${\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'}$