Matice soustavy

Matice soustavy, ^[1] též matice koeficientů, je v lineární algebře matice vytvořená z koeficientů neznámých proměnných soustavy lineárních rovnic. Matice se používá pro určení množiny řešení soustavy.

Definice

Soustavu ${\displaystyle m}$ lineárních rovnic o ${\displaystyle n}$ neznámých lze obecně zapsat ve tvaru

${\displaystyle {\begin{array}{rcr}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{array}}}$

kde ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ jsou neznámé a čísla ${\displaystyle a_{11},a_{12},...,a_{mn}}$ jsou koeficienty soustavy. Matice soustavy je matice typu ${\displaystyle m\times n}$, jejíž prvky na souřadnicích ${\displaystyle i}$ a ${\displaystyle j}$ jsou koeficienty ${\displaystyle a_{ij}}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

Soustavu rovnic pak lze vyjádřit stručněji jedinou rovnicí

${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}}$,

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je matice soustavy a ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$ je sloupcový vektor pravých stran, též nazývaný vektor konstantních členů.

Rozšířená matice soustavy

Rozšířená matice soustavy je přepis soustavy ${\displaystyle m}$ lineárních rovnic o ${\displaystyle n}$ neznámých

${\displaystyle {\begin{array}{rcr}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{array}}}$

do rozšířené matice, kde k matici soustavy je přidán vektor pravých stran.

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}|{\boldsymbol {b}})=\left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)}$

Hodnost matice

Podrobnější informace naleznete v článku Frobeniova věta.

Podle Frobeniovy věty nemá soustava rovnic žádné řešení, pokud hodnost ${\displaystyle r}$ rozšířené matice soustavy je větší než hodnost matice soustavy. Jsou-li naopak hodnosti obou matic stejné, má soustava alespoň jedno řešení. Řešení je jednoznačné, právě když hodnost ${\displaystyle r=\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}}$ je rovna počtu proměnných ${\displaystyle n}$. Je-li proměnných více, pak lze ${\displaystyle n-r}$ volným proměnným přiřadit libovolnou hodnotu a dopočítat řešení. Odlišné volby hodnot volných proměnných vedou k odlišným řešením soustavy.

Dynamické rovnice

Maticová diferenční rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}_{t+1}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {y}}_{t}+{\boldsymbol {c}},}$

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je čtvercová matice řádu ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {c}}}$ jsou ${\displaystyle n}$-složkové vektory. Tato soustava konverguje k rovnovážnému stavu ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$, právě když absolutní hodnoty všech ${\displaystyle n}$ vlastních čísel matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ jsou menší než 1.

Maticová diferenciální rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {y}}}{dt}}={\boldsymbol {Ay}}(t)+{\boldsymbol {c}}}$.

Tato soustava je stabilní, právě když všech ${\displaystyle n}$ vlastních čísel matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ má záporné reálné části.