Mocninná funkce

Mocninná funkce je elementární matematická funkce, jejíž hodnoty jsou přímo úměrné určité mocnině proměnné, tedy funkce tvaru

${\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R} ,}$

Grafy mocninných funkcí x², x³ a −x⁻²

kde ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle r}$ jsou konstanty a ${\displaystyle x}$ je proměnná. Konstanta ${\displaystyle r}$ se nazývá exponent.

Mocninná funkce, jejíž exponent ${\displaystyle r}$ je celé číslo nebo nula, je polynomiální funkce s nejvýše jedním nenulovým koeficientem.

Definiční obor

Definiční obor závisí na exponentu ${\displaystyle r}$, konkrétně na jeho celočíselnosti (tj. zda ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$) a znaménku podle následující tabulky.

	${\displaystyle r>0}$	${\displaystyle r<0}$	${\displaystyle r=0}$
${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ nebo ${\displaystyle \mathbb {R} }$[pozn. 1]
${\displaystyle r\notin \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$	—

1. Obecně není výraz 0⁰ definován. V případě mocninné funkce je však smysluplné jej dodefinovat vztahem 0⁰ = 1, díky čemuž při ${\displaystyle r=0}$ se mocninná funkce zredukuje na konstantu ${\displaystyle f(x)=a}$ s definičním oborem ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Obor hodnot

Obor hodnot závisí na konstantě ${\displaystyle a}$ a exponentu ${\displaystyle r}$.

	${\displaystyle r>0}$		${\displaystyle r<0}$		${\displaystyle r=0}$
	${\displaystyle r}$ sudé nebo ${\displaystyle \notin \mathbb {Z} }$	${\displaystyle r}$ liché	${\displaystyle r}$ sudé nebo ${\displaystyle \notin \mathbb {Z} }$	${\displaystyle r}$ liché
${\displaystyle a>0}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$	${\displaystyle \{a\}}$
${\displaystyle a<0}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$
${\displaystyle a=0}$	${\displaystyle \{0\}}$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu mocninná funkce na Wikimedia Commons