Posunutí (geometrie)

V geometrii představuje posunutí (translace) geometrické zobrazení v afinním prostoru, které je charakterizováno tím, že každý bod se zobrazí na bod posunutý o stejný vektor, tzv. vektor posunutí, který posunutí jednoznačně určuje.

Geometrické posunutí.

Posunutí v euklidovském prostoru se řadí mezi shodná zobrazení. Posunutí lze aplikovat na celý prostor nebo na vybrané geometrické útvary. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při posunutí nemění.

Maticová reprezentace

Některé transformace lze reprezentovat jako násobení vektoru souřadnic zleva určitou maticí. Při násobení maticí je vždy počátek souřadnic pevným bodem; posunutí je však afinní transformace, která nemá žádný pevný bod. Existuje ale trik, jak posunutí reprezentovat násobením vektoru souřadnic maticí zleva, a tím je použití homogenních souřadnic: trojrozměrný vektor ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ zapíšeme pomocí 4 homogenních souřadnic jako ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$.^[1]

Pro posunutí objektu o daný vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ lze každý homogenní vektor ${\displaystyle \mathbf {p} }$ (zapsaný v homogenních souřadnicích) znásobit následující translační maticí:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Násobení touto maticí dá skutečně očekávaný výsledek:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

Inverzní zobrazení a tedy i inverzní translační matici lze získat prostým obrácením vektoru:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

Součin translačních matic lze vyjádřit pomocí sčítání vektorů:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!}$

Protože sčítání vektorů je komutativní, násobení translačních matic je také komutativní (na rozdíl od násobení obecných matic).