Reciproký polynom

Reciproký polynom je mnohočlen vyznačující se symetrií svých koeficientů (i kořenů). Tato vlastnost pak pomáhá určit některé jeho kořeny.

Nechť je dán mnohočlen

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\,,\,\,a_{n}\neq 0.}$

pak jej nazýváme

• reciproký mnohočlen 1. druhu (kladně reciproký), jestliže  ${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n}$
• reciproký mnohočlen 2. druhu (záporně reciproký), jestliže  ${\displaystyle a_{k}=-a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n}$

Kořeny

Z definice reciprokého polynomu plyne, že je-li kořenem číslo ${\displaystyle c}$, potom je kořenem také převrácené (reciproké) číslo ${\displaystyle {\dfrac {1}{c}}}$, odtud název. Reciproký polynom zřejmě nemůže mít nulový kořen.

Naopak pokud tato podmínka platí pro všechny kořeny mnohočlenu, musí se již jednat o reciproký mnohočlen.

Hledání kořenů reciprokého polynomu je hledáním řešení reciproké rovnice.

Reciproký polynom druhého druhu má vždy kořen ${\displaystyle c=1}$.

Reciproký polynom prvního druhu lichého stupně má kořen ${\displaystyle c=-1}$.

U polynomu prvního druhu sudého stupně se používá substituce:

${\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}}$

Literatura

• Emanovský P. (1998). Cvičení z algebry (polynomy, algebraické rovnice). VUP Olomouc. ISBN 80-7067-281-1
• Emanovský P. (2002). Algebra 2, 3 (pro distanční studium). VUP Olomouc.
• BLAŽEK J., KOMAN M., VOJTÁŠKOVÁ (1985). Algebra a teoretická aritmetika, II. díl. Praha: SPN.