Van Wijngaardenova transformace

Van Wijngaardenova transformace je v matematice a numerické matematice varianta Eulerovy transformace používané pro zrychlení konvergence alternujících řad.

Jeden z algoritmů pro výpočet Eulerovy transformace funguje takto:

Vypočítá řádek částečných součtů $${\displaystyle s_{0,k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}}$$ a vytváří řádky průměrů mezi sousedy $${\displaystyle s_{j+1,k}={\frac {s_{j,k}+s_{j,k+1}}{2}}}$$ První sloupec ${\displaystyle s_{j,0}}$ pak obsahuje částečné součty z Eulerovy transformace.

Přínos Adriaana van Wijngaardena spočívá v tom, že upozornil, že je lepší neprovádět tento postup až do úplného konce, ale zastavit jej ve dvou třetinách.^[1] Pokud jsou známy členy ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{12}}$, pak ${\displaystyle s_{8,4}}$ je skoro vždy lepší aproximací součtu než ${\displaystyle s_{12,0}}$. V mnoha případech diagonální členy v jednom cyklu nekonvergují, takže průměrování je třeba zopakovat s diagonálními členy umístěnými do řádku. (To bude potřebné v geometrické řadě s kvocientem ${\displaystyle -4}$.) Tento proces opakovaného průměrování částečných součtů může být nahrazen použitím vzorce pro výpočet diagonálního členu.

Příklad

Jednoduchým příkladem je Leibnizův vzorec pro výpočet čísla pí (vycházející z Taylorova polynomu funkce arkus tangens)

${\displaystyle {\mbox{arctg}}(1)=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}=0.7853981\ldots }$

(1)

Výše popsaný algoritmus vytvoří následující tabulku:

Výpočet Eulerovy transformace (1);^[2] zvýrazněné hodnoty jsou závěrečné výsledky

1.00000000	0.66666667	0.86666667	0.72380952	0.83492063	0.74401154	0.82093462	0.75426795	0.81309148	0.76045990	0.80807895	0.76460069	0.80460069
0.83333333	0.76666667	0.79523810	0.77936508	0.78946609	0.78247308	0.78760129	0.78367972	0.78677569	0.78426943	0.78633982	0.78460069
0.80000000	0.78095238	0.78730159	0.78441558	0.78596959	0.78503719	0.78564050	0.78522771	0.78552256	0.78530463	0.78547026
0.79047619	0.78412698	0.78585859	0.78519259	0.78550339	0.78533884	0.78543410	0.78537513	0.78541359	0.78538744
0.78730159	0.78499278	0.78552559	0.78534799	0.78542111	0.78538647	0.78540462	0.78539436	0.78540052
0.78614719	0.78525919	0.78543679	0.78538455	0.78540379	0.78539555	0.78539949	0.78539744
0.78570319	0.78534799	0.78541067	0.78539417	0.78539967	0.78539752	0.78539847
0.78552559	0.78537933	0.78540242	0.78539692	0.78539860	0.78539799
0.78545246	0.78539087	0.78539967	0.78539776	0.78539829
0.78542166	0.78539527	0.78539871	0.78539803
0.78540847	0.78539699	0.78539837
0.78540273	0.78539768
0.78540021

To odpovídá následujícím výstupům:

Přesnost výsledku

Algoritmus	Použitý člen	Hodnota ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	Relativní chyba
Naivní částečné součty	${\displaystyle s_{0,12}}$	0.8046006...	+2,4%
Eulerova transformace	${\displaystyle s_{12,0}}$	0.7854002...	+2,6×10−6
van Wijngaardenova transformace	${\displaystyle s_{8,4}}$	0.7853982...	+4,7×10−8