Isometreg

Mewn mathemateg, mae isometreg yn drawsffurfiad lle cedwir yr hyd (neu'r pellter) rhwng y gofod metrig heb ei newid.^[1] Mewn geiriau eraill, mae isometreg yn drawsffurfiad sy'n mapio elfennau o un gofod metrig i un arall, gan barchu hyd y gofod a geir rhwng yr elfennau, yn union. Mewn gofod Euclidaidd 2 a 3 dimensiwn, os yw dau ffigur (neu ddau siâp) yn perthyn i'w gilydd drwy isometreg, yna dywedir eu bod "yn gyfath". Mae'r berthynas hon, sy'n eu cysylltu, naill ai'n symudiad anhyblyg, neu'n adlewyrchiad.^[2]

Mae'r gair Groegaidd isos yn golygu "hafal", sy'n cyfeirio at y pellter rhwng yr elfennau.

Diffiniad

Gadewch i X a Y fod yn ofod metrig, gyda metrics d_X a d_Y. Gelwir map f : X → Y yn isometrig os ceir (ar gyfer a,b ∈ X)

${\displaystyle d_{Y}\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).}$^[3]

Enghreifftiau

• Mae unrhyw adlewyrchiad, trawsfudiad (translation) a chylchdro yn 'isometreg global'.^[4]
• Mae'r map ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ mewn ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ yn llwybr isometrig ond nid yw'n isometrig.
• Mae'r map llinol isometrig o Cⁿ iddo ef ei hun yn cael ei ddynodi gan fatricsau unedol.^[5][6][7][8]

Isometreg llinol

Os dynodir gofodau fector norm V a W, yna mae'r isometreg llinol yn fap llinol f : V → W sy'n cadw neu'n prisyrfio'r norm/au:

${\displaystyle \|f(v)\|=\|v\|}$

ar gyfer pob v o fewn V.^[9].