Plân cymhlyg

Mewn mathemateg, mae'r plân cymhlyg neu plân-z yn gynrychiolaeth geometrig o'r rhifau cymhlyg a sefydlwyd gan yr echelin real a'r echelin ddychmygol berpendicwlar. Gellir ei ystyried fel plân Cartesaidd wedi'i addasu, gyda rhan real o rif cymhlyg, a gynrychiolir gan ddadleoliad ar hyd yr echelin-x, a rhan ddychmygol trwy ddadleoli ar hyd echelin-y. Ceir ystyron eraill i'r term plân cymhlyg, ond dyma'r ystyr mwyaf cyffredin.

Diagram Argand yn dangos mewn ffurf geometrig cynrychiolaeth o z a'i gyfiau (conjugate) z̅ yn y plân cymhlyg. Gellir canfod y cyfiau cymhlyg drwy adlewyrchu z ar draws yr echelin real. Y pellter ar hyd y linell las, golau yw'r gwerth absoliwt. Yr ongl φ yw arg z.

Mae'r cysyniad o blân cymhlyg yn caniatáu dehongliad geometrig o rifau cymhlyg. O dan adio, maent yn adio fel fectorau. Gellir mynegi lluosi dau rif cymhlyg fel cyfesurynnau polar: maint (neu werth absoliwt) y lluoswm yw lluoswm y ddau werth absoliwt, a elwir hefyd yn "fodiwlau", ac ongl neu ymresymiad y lluoswm yw swm y ddau ongl, neu ymresymiad. Yn benodol, mae lluosi gyda rhif cymhlyg o fodiwlau, mae 1 yn gweithredu fel cylchdro.

Gelwir y plân weithiau'n "blân Argand".

Nodiant

Mewn dadansoddiad cymhlyg, mae'r rhifau cymhlyg fel arfer yn cael eu cynrychioli gan y symbol z, a ellir ei wahanu'n ddwy ran rhifau real (x) a rhifau dychmygol (y):

${\displaystyle z=x+iy}$

er enghraifft: z = 4 + 5i, lle mae x a y yn rhifau real ac i yn uned ddychmygol. Yn y dull traddodiadol hwn mae'r rhif cymhlyg z yn cyfateb i'r pwynt (x, y) yn y plân Cartesaidd.

Yn y plân Cartesaidd, gellir mynegi'r pwynt (x, y) mewn cyfesurynnau polar fel

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\qquad (r,\theta )=\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \arctan {\frac {y}{x}}\right).}$

Yn y plân cymhlyg, mae'r cyfesurynnau polar yma'n cymryd y ffurf

${\displaystyle z=x+iy=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=|z|e^{i\theta }}$

lle

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arg(z)={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\,}$

Diagram Argand

Mae'r term "Diagram Argand" fel arfer yn cyfeirio at blot geometrig o rifau cymhlyg, fel pwyntiau z=x+iy, gan ddefnyddio echelin-x fel yr echelin real ac echelin-y fel yr echeln ddychmygol.^[1]. Enwyd y diagram ar ôl Jean-Robert Argand (1768–1822), er iddo gael ei ddisgrifio'n gyntaf gan Caspar Wessel (1745–1818).^[2] Defnyddir y diagram yn aml i blotio safleoedd seros a phegynnau ffwythiant ar y plân cymhlyg.

Gweler hefyd

• Rhif dychmygol
• Cyfiau cymhlyg
• Gwerth absoliwt