Gwerth absoliwt

Mewn mathemateg, gwerth absoliwt |x| unrhyw rif real x yw gwerth annegatif x heb unrhyw ystyriaeth i'w Arwydd. Felly, |x| = x ar gyfer positif x, |x| = −x ar gyfer y negatif x (sy'n gwneud −x yn bositif) a |0| = 0. Er enghraifft, gwerth absoliwt 3 yw 3 a gwerth absoliwt -3 hefyd yw 3. Gellir ystyried gwerth absoliwt unrhyw rif fel y pellter rhyngddo â sero. Yr hen derm am y gwerth absoliwt oedd modulus.

Y graff o ffwythiant y 'gwerth absoliwt' o unrhyw rif real.

Gellir ystyried gwerth absoliwt unrhyw rif fel y pellter rhyngddo â sero.

Mae cyffredinoli ynghylch y gwerth absoliwt yn digwydd mewn llawer o feysydd. Er enghraifft, ceir diffiniad o'r gwerth absoliwt yn nhermau rhifau cymhlyg, y cwaternion/au, cylchoedd trefnedig a gofod fectoraidd. Mae'r syniad o werth absoliwt yn perthyn yn agos i faint, a meintiau, pellter a norm, yng nghyd destun mathemateg a ffiseg.

Diffiniad a nodweddion

Rhifau real

Ar gyfer rhif real x, dynodir gwerth absoliwt x gan |x| (beipen fertigol o boptu'r maint), ac a gaiff ei diffinio fel:^[1]

${\displaystyle |x|=\left\{{\begin{array}{rl}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{array}}\right.}$

Felly, mae gwerth absoliwt x, bob tro, naill ai'n bositif neu'n sero, ond byth yn negatif. Pan fo x ei hun yn negatif (x < 0), yna mae ei werth absoliwt o reidrwydd yn bositif (|x| = −x > 0).

Rhifau cymhlyg

Gwerth absoliwt unrhyw rif cymhlyg  ${\displaystyle z}$ yw'r pellter ${\displaystyle r}$ o ${\displaystyle z}$ o'i darddiad.

Gan nad yw rhifau cymhlyg yn drefnedig, mae'r diffiniad uchod yn berthnasol i rifau real, ond yn amherthnasol i rifau cymhlyg. Diffinnir gwerth absoliwt rhifau cymhlyg fel ei bellter Ewclidaidd o'i bwyntiau cyfatebol yn y plân cymhlyg o'i darddiad. Gellir cyfrifo hyn drwy ddefnyddio Theorem Pythagoras; ar gyfer unrhyw rif cymhlyg:

${\displaystyle z=x+iy,}$

lle mae x ac y yn rhifau real, dynodir gwerth absoliwt z gan |z| ac fe'i diffinnir gan^[2]

${\displaystyle |z|={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

lle mae Re(z) = x a Im(z) = y yn dynodi rhannau real a dychmygol z, yn ôl eu trefn. Pan fo'r rhan dychmygol y yn sero, ceir cyd-daro gyda diffiniad gwerth absoliwt y rhif real x.

Hanes

Cyflwynodd y mathemategydd Jean-Robert Argand y term Ffrangeg module i olygu uned o fesur yn 1806, yn arbennig ar gyfer "gwerth absoliwt 'cymhleth'" a bethyciwyd y term i'r Saesneg (yn ei ffurf Ladin modulus) yn 1866.^[3][4] Cyflwynwyd y nodiant |x|, gyda pheipen o'i boptu, gan Karl Weierstrass yn 1841.^[5] Mewn cyfrifiadureg, cynrychiolir gwerth absoliwt gan abs(x), neu nodiant debyg.