Binomialkoefficient

Inden for den matematiske gren kombinatorik angiver binomialkoefficienten ${\displaystyle {n \choose k}}$ antallet af måder hvorpå man kan udtage k forskellige elementer taget fra en pulje med n forskellige elementer. Symbolet ${\displaystyle {n \choose k}}$ udtales "n vælg k". Nogle af binomialkoefficienternes egenskaber kan illustreres med Pascals trekant.

Definition

Givet et reelt tal n og et ikke-negativt heltal k, er binomialkoefficienten defineret ved

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}.}$

Hvis n er et naturligt tal gælder at

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

hvor n! betyder n fakultet. I Excel kan følgende benyttes :${\displaystyle {n \choose k}}$ = Kombin(n;x)

Egenskaber

Hvis n er et naturligt tal og n>k gælder ${\displaystyle {n \choose k}={n \choose {n-k}}}$, hvilket udtrykker en form for symmetri: der er lige så mange måder at udtage k elementer som der er at udtage alle undtagen k. Desuden er ${\displaystyle {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}={{n+1} \choose {k}}}$, hvilket svarer til, at hvert felt i Pascals trekant er lig med summen af de to felter ovenfor.

Anvendelser

Binomialkoefficienterne forekommer i binomialformlen

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}$

Eksempler

1. Hvis man skal købe en pizza med tre forskellige slags "fyld", og der er 20 forskellige slags "fyld" at vælge imellem, kan man vælge ${\displaystyle {20 \choose 3}={\frac {20!}{3!\,17!}}=1140}$ forskellige pizzaer.
2. ${\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}$, og ${\displaystyle {n \choose 1}={n \choose {n-1}}=n}$.

Se også

• Fakultet
• Binomialfordelingen
• Pascals trekant