Matematik

Matematik (fra oldgræsk μάθημα; máthēma: 'viden, læring, studie') er et vidensområde, der omfatter emner som tal (aritmetik og talteori),^[1] formler og relaterede strukturer (algebra),^[2] former og rummene, hvori de er indesluttet (geometri),^[1] og mængder og deres ændringer (kalkulus og analyse).^[3]^[4]^[5] De fleste matematiske aktiviteter involverer brugen af ren fornuft til at opdage eller bevise egenskaberne ved abstrakte objekter, som består af enten abstraktioner fra naturen eller – i moderne matematik – enheder, der er fastsat med bestemte egenskaber, kaldet aksiomer. Et matematisk bevis består af en række anvendelser af nogle deduktive regler på allerede kendte resultater, herunder tidligere beviste teoremer, aksiomer og (i tilfælde af abstraktion fra naturen) nogle grundlæggende egenskaber, som betragtes som sande udgangspunkter for teorien i betragtning.

Matematik bruges i videnskaben til modelopsætning af fænomener, som så tillader forudsigelser at blive lavet ud fra eksperimentelle love. Den matematiske sandheds uafhængighed af enhver eksperimentering indebærer, at nøjagtigheden af sådanne forudsigelser kun afhænger af modellens tilstrækkelighed. Upræcise forudsigelser, snarere end at være forårsaget af forkert matematik, indebærer behovet for at ændre den anvendte matematiske model. For eksempel kunne Merkurs perihelion-præcession først forklares efter fremkomsten af Einsteins generelle relativitetsteori, som erstattede Newtons tyngdelov som en bedre matematisk model.

Matematik er essentielt inden for videnskab, iværksætteri, lægemidler, finans, datalogi og samfundsvidenskab. Nogle områder af matematik, såsom statistik og spilteori, er udviklet i tæt korrelation med deres anvendelser og er ofte grupperet under anvendt matematik. Andre matematikområder udvikles uafhængigt af enhver applikation (og kaldes derfor ren matematik), men praktiske applikationer opdages ofte senere. Et passende eksempel er problemet med heltalsfaktorisering, som går tilbage til Euklid, men som ikke havde nogen praktisk anvendelse før den blev brugt i RSA-kryptosystemet (til computernetværkssikkerhed).

Historisk dukkede konceptet om et bevis og dets tilhørende matematiske stringens først op i græsk matematik, især i Euklids Elementerne.^[6] Siden begyndelsen var matematik i det væsentlige opdelt i geometri og aritmetik (manipulation af naturlige tal og brøker), indtil det 16. og 17. århundrede, hvor algebra^[a] og infinitesimalkalkulus blev introduceret som nye områder af emnet. Siden da har samspillet mellem matematiske innovationer og videnskabelige opdagelser ført til en hurtig stigning i udviklingen af matematik. I slutningen af det 19. århundrede førte matematikkens grundlæggende krise til systematiseringen af den aksiomatiske metode. Dette gav anledning til en dramatisk stigning i antallet af matematikområder og deres anvendelsesområder. Et eksempel på dette er Matematikfagsklassifikationen, som oplister mere end 60 matematikområder på første niveau.

Matematik er et fag, der har eksisteret i 5.000 år, det har ry for at være tørt og kedeligt, svært og utilgængeligt, abstrakt, virkeligheds- og menneskefjernt, ja nogle vil måske endda mene menneskefjendsk.

“

”

– matematiker Tinne Hoff Kjeldsen^[7]

Matematikere er en slags franskmænd: snakker du med dem, oversætter de til deres eget sprog, og så er det straks noget helt andet.

“

”

– Johann Wolfgang von Goethe^[8]

Mit det sværeste i skolen er regning, og det som er det sværeste i regning, er at få det til at blive det, det skal!

“

”

– sagt af lille pige^[9]

Matematikken er en deduktiv og abstrakt videnskab, som bygger på logiske metoder. I den moderne definition er det undersøgelsen af aksiomatisk definerede abstrakte strukturer ved brug af logik, læren om sandt og falsk, som er det fælles udgangspunkt.^{[kilde mangler]} De specifikke strukturer, der undersøges, har ofte deres udgangspunkt i naturvidenskaben, oftest i fysikken. Men i modsætning til naturvidenskaben beskriver matematikken en uvirkelig ideel verden, hvor for eksempel rette eller parallelle linjer findes modsat den virkelige verden. Matematikere definerer og undersøger også strukturer udelukkende af hensyn til matematikkens udvikling af egne regler, for eksempel fordi de finder ud af, at en struktur giver en samlende generalisering, eller at der findes et værktøj, der kan hjælpe i flere forskellige grene af matematikken.^{[kilde mangler]}

Der findes dog ikke nogen alment accepteret definition på, hvad matematik er.^[10]^[11] Aristoteles definerede faget som "videnskaben om størrelser", og denne definition var fremherskende frem til 1700-tallet.^[12] Men da den matematiske forskning i løbet af 1800-tallet i stigende grad blev præget af logisk strenghed og desuden begyndte at opdyrke nye felter som gruppeteori og projektiv geometri, som ikke primært handler om målelige størrelser, begyndte der blandt matematikere og filosoffer at dukke en række nye definitioner op.^[13] I dag arbejder man inden for matematisk filosofi med tre overordnede måder at definere faget på, nemlig en logicistisk, som anser matematik for at høre under logikken, en intuitionistisk, som lægger vægt på de tankerækker og tankebaner, som matematikere følger i deres arbejde med at opnå ny indsigt, samt en formalistisk, hvor det væsentlige er hvordan man håndterer matematiske symboler efter visse grundantagelser. Man er dog langtfra enige om, hvilken af disse overordnede måder giver den bedste forståelse af matematikkens natur.^[14]

Ganske mange matematikere er ligeglade med, hvordan matematik skal defineres, eller mener at det er umuligt at gøre.^[10] Der er heller ikke enighed om, hvorvidt matematik er videnskab eller kunst.^[11] Nogle bruger den simple definition, at "matematik er det som matematikere laver".^[10]

Uddybende artikel: Matematikkens historie

Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle land og for at forudsige astronomiske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling^{[kilde mangler]} af matematikken i studiet af algebra, rum og infinitesimalregning.

En vigtig del af grundlaget for den matematiske videnskab blev lagt i antikkens Grækenland, hvor især Euklids lærebog Elementerne fra omkring år 300 f.Kr. skulle vise sig at få kolossal betydning for matematikundervisningen helt frem til engang i 1900-tallet.^[16] Bogen er en samling af grundlæggende definitioner, samt udledninger af matematiske objekter og begreber baseret på disse definitioner, udledninger baseret udelukkende på logisk-deduktiv bevisførelse. Herved sikres, at hvis udgangspunktet for en udledning er sand, så bliver resultatet det også. Matematik kom herved til at fremstå som en videnskab som fremlagde absolutte sandheder.^[17]

I antikkens Grækenland anså man matematikken for at omhandle og beskrive virkeligheden, og denne forestilling holdt sig til langt op i 1800-tallet. Men nye matematiske opdagelser, bl.a. Cantors arbejde inden for mængdelære med uendelige mængder og Gauss' erkendelse af, at Euklids bevis for det såkaldte parallelpostulat var problematisk, førte til nye måder at anskue matematikken på. Cantors arbejde med uendelige mængder viste sig at medføre en logisk modstrid, som gjorde det nødvendigt at omdefinere aksiom-begrebet, så det fra at udtrykke en absolut sandhed om virkeligheden i stedet blot skulle være fri for modsigelser og ikke længere nødvendigvis beskrive virkeligheden.^[18] Gauss' arbejde med geometri førte til udvikling af den ikke-euklidiske geometri, hvor man fx godt kan have flere parallelle linjer gående gennem samme punkt og hvor vinkelsummen i en trekant ikke altid er 180 grader,^[19] geometriske egenskaber som senere viste sig anvendelige i Einsteins relativitetsteori.^[20]

Uddybende artikler: Anvendt matematik og Matematisk skønhed

Matematik er i tidens løb udsprunget af en række forskellige praktiske problemer, såsom handel, landmåling, arkitektur og astronomi. I dag kan alle videnskaber fremvise problemstillinger, som kan løses ved hjælp af matematik, og den matematiske videnskab skaber også selv løbende nye sådanne problemstillinger. Det var f.eks. ved at kombinere fysisk forståelse med matematisk logik at fysikeren Richard Feynman indførte brugen af kurveintegraler inden for kvantemekanik. Strengteorien, som forsøger at give en samlet beskrivelse af universets opbygning vha de fire fundamentale naturkræfter, er på lignende vis en stadig inspirationskilde til ny matematisk indsigt.^[21]

Noget matematik har kun relevans inden for de områder, hvor den er udviklet, og her kan den bruges til at opnå større indsigt. Men ofte har matematisk indsigt udviklet inden for ét område vist sig anvendelig inden for andre områder. Man skelner her ofte mellem ren matematik og anvendt matematik, men erkendelser inden for den rene matematik viser sig ofte senere at kunne anvendes i praksis, som fx talteori inden for kryptografi.

Den kendsgerning at selv den 'reneste' matematik ofte har praktiske anvendelsesmuligheder har Eugene Wigner kaldt "matematikkens urimelige effektivitet".^[22] Som på andre områder har den megen ny videnskabelige indsigt den senere tid ført til en specialisering, så at matematik i dag kan opdeles i flere hundrede underdiscipliner.^[23] Inspireret af områder uden for matematikken har mange discipliner inden for anvendt matematik udviklet sig til selvstændige discipliner, såsom sandsynlighedsregning, statistik, operationsanalyse og datalogi.

Euklids bevis for, der er uendeligt mange primtal
- oprindeligt publiceret i hans værk Elementer:^[24]^[25]

Betragt en liste med et vilkårligt, men endeligt antal primtal p₁, p₂, ..., p_n. Hvis P er produktet af alle primtal på listen: P = p₁p₂...p_n, og det antages at q = P + 1, så er q enten et primtal eller ej:

Hvis q er et primtal, findes der mindst ét primtal, som ikke er på listen.
Hvis q ikke er et primtal, må der findes en primtalsfaktor p som går op i q. Stod denne faktor p på vores liste, ville den gå op i P (idet P er produktet af alle tal i listen); men p går som sagt også op i P + 1 = q. Hvis p både går op i P og q, så må p også gå op i forskellen mellem de to,^[b] som er (P + 1) − P eller 1. Da intet primtal går op i 1, står p ikke på listen. Dermed må der findes yderligere mindst ét primtal.

Hermed er bevist, at der for enhver liste med endeligt mange primtal findes endnu et primtal.

For mange matematisk interesserede er der et aspekt af skønhed knyttet til matematik, og man beskriver faget med udtryk som elegance, æstetik og indre skønhed, foruden enkelhed og almengyldighed. Man finder skønhed i et enkelt og elegant bevis, som fx Euklis bevis for, at der er uendelig mange primtal, eller en snild metode til at øge hastigheden af udregninger, som fx Fast Fourier Transform. Matematikeren G. H. Hardy har udtrykt, at dette aspekt af skønhed i sig selv er nok til at retfærdiggøre studiet af ren matematik, en skønhed der bl.a. kan beskrives med ord som betydning, uforudsethed, uundgåelighed og økonomi.^[26]

Matematisk forskning søger ofte at afdække afgørende træk ved et matematisk objekt. Det videnskabelige trofæ man stræber efter er at kunne formulere en sætning, der karakteriserer objektet ud fra disse træk. Eksempler på særligt kortfattede og åbenbarende matematiske bevisførelser er samlet i bogen Proofs from THE BOOK.^[27]

Den popularitet, som underholdningsmatematik nyder, er et tegn på, at mange ynder at sysle for sjov med matematiske opgaver. Omvendt støder filosoffer stadig på problemer inden for matematikkens filosofi, fx vedrørende det matematiske bevis' væsen.^[28]

Mange af de symboler og tegn, som bruges i matematisk notation, blev først taget i brug i løbet af 1500-tallet, fx lighedstegnet og større end- og mindre end-tegnene.^[c]^[29] Tidligere var matematisk tænkning blevet skrevet ud i tekst, hvilket faktisk begrænsede mulighederne for nye videnskabelige landvindinger.^[30] Det var Euler, som indførte megen af den moderne matematiske notation, en notation som letter den matematiske forståelse for den professionelle. Derimod afskrækkes begyndere inden for faget ofte af notationen, fordi matematisk argumentation både er mere abstrakt og mere kryptisk end sædvanlig sprogbrug,^[31] hvor det er nemmere at forstå sammenhængen mellem et ord (fx ko) og den fysiske genstand (her et pattedyr af drøvtyggerfamilien), ordet refererer til. I modsætning hertil er matematiske symboler og begreber abstrakte, uden sidestykker i den fysiske verden,^[32] og desuden ofte med udvidede betydninger, hvor et enkelt symbol kan repræsentere flere forskellige handlinger eller begreber.^[33]

Eksempel på matematisk fejlslutning
I Holbergs komedie Erasmus Montanus forsøger hovedpersonen, hjemvendt til sin barndoms landsby fra studier i København, at imponere sin mor med denne logiske argumentation:^[34]

1. En sten kan ikke flyve
2. Morlille kan ikke flyve
3. Altså er Morlille en sten

Erasmus forsøger at anvende den klassiske modus ponens-logik:
1. p medfører q (hvis Morlille er en sten, så kan Morlille ikke flyve)
2. p er sand (Morlille er en sten)
3. Altså er q sand (altså kan Morlille ikke flyve),

men han får byttet om på punkt 2 og 3. For at berolige sin nu opskræmte mor fortsætter Erasmus:
1. En sten kan ikke tale.
2. Morlille kan tale.
3. Altså er Morlille ingen sten.

Dennegang anvender Erasmus modus tollens-logik:
1. p medfører q (hvis Morlille er en sten, så kan Morlille ikke tale)
2. q er falsk (Morlille kan godt tale)
3. Altså er p falsk (altså er Morlille ingen sten),

med bedre resultat.

Også når man ser bort fra notationen med symboler og tegn kan matematikeres sprog være svært at forstå for begyndere. Almindelige ord som eller og kun har en mere præcis betydning end i dagligsprog, mens andre ord som åben, legeme og gruppe refererer til bestemte matematiske forestillinger, som ikke har med ordenes sædvanlige betydning at gøre. Matematikere bruger også fremmedord som homomorfi og integrabel, som ikke giver mening uden for matematikken. Grunden til, matematikere bruger en særlig notation og et særligt sprog er ønsket om at kunne udtrykke sig med større præcision end hvad dagligsprog tillader. Man taler om matematisk strenghed.^{[kilde mangler]}

Matematisk bevisførelse er dybest set et spørgsmål om logisk strenghed. Bevisførelsen resulterer i sætninger, som er udledt fra aksiomer ved hjælp af systematisk logik. Herved undgår man falske sætninger udledt ud fra fejlslutninger, som der har været mange eksempler på, se tekstboks. Graden af nødvendig strenghed har vekslet gennem matematikkens historie: de gamle grækere forlangte detaljeret bevisførelse, men på Isaac Newtons tid var man begyndt at tage lidt lettere på tingene. Dette medførte efterhånden visse uhensigtsmæssigheder, så at man i 1800-tallet igen vendte sig mod detaljeret logisk analyse og formel bevisførelse. I dag diskuterer matematikere, hvorvidt og hvordan man kan bruge computere til at udlede sætninger: da omfattende og indviklede beregninger er svære at efterprøve, kan beviset for sådanne sætninger være fejlbehæftet, hvis computerens software er fejlbehæftet.^[d]^[35] Der er dog udviklet hjælpeprogrammer (eng: proof assistants), som kan foretage en fuldstændig gennemgang og afprøvning af alle trinene i lange, indviklede beviser, som fx Feit-Thomsons sætning, hvis bevis på tryk fylder mere end 1.000 sider.

I dag er matematik baseret på logik og bevisførelse. Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle landområder og jordlodder og for at forudsige astronomiske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling^{[kilde mangler]} af matematikken i studiet af hhv tal, rum og infinitesimalregning, også kaldet algebra, geometri og analyse.^[36]

Logik og mængdelære

Uddybende artikler: Matematisk logik, Mængdelære, Kategoriteori og Gödels ufuldstændighedssætning

Hvor matematikeres arbejde oprindeligt udelukkende bestod i beregninger, opstod efterhånden et behov for at få formaliseret de regler, man regnede efter. Dette var baggrunden for udviklingen af matematisk logik, hvor filosofiens logiske tænkning anvendes inden for matematiske discipliner. Ud fra nogle få grundlæggende logiske sandheder, kaldet aksiomer, søger man vha logisk argumentation at nå frem til nye sandheder af mere indviklet natur om specifikke matematiske problemstillinger. Omkring år 1900 søgte David Hilbert at formalisere matematikken ved at opstille al matematik i et system af aksiomer, som bl.a. skulle afhjælpe nogle logiske problemer i Euklids geometri, men senere viste Kurt Gödel i sin ufuldstændighedssætning, at dette ikke lader sig gøre. De første årtier af 1900-tallet blev præget af en krise inden for matematikken, hvor man (forgæves, skulle det vise sig) søgte at afdække et sådant fuldstændigt forklarende system, i stil med Hilberts.^[37]^[38]

I mængdelæren beskæftiger man sig med samlinger af objekter. Dette felt blev især udviklet af Georg Cantor i slutningen af 1800-tallet, bl.a. som et forsøg på at opnå en bedre forståelse af uendelighedsbegrebet. Mængdelæren er blevet en vigtig matematisk disciplin, som mange i dag opfatter som et helt afgørende redskab inden for praktisk talt alle områder af matematik.^[39]

Kombinatorik

Uddybende artikel: Kombinatorik

I mange situationer står man over for at skulle udvælge elementer fra en mængde efter visse kriterier, og man kan nu spørge, hvor mange valgmuligheder der er i hver af sådanne situationer. Hvis elementerne skal vælges i en bestemt rækkefølge, som fx de optrædende ved en bestemt festivalkoncert eller farverne i et flags (vandrette eller lodrette) striber, kalder man valgmulighederne for permutationer, og her gælder alment, at hvis man skal udvælge q elementer fra en mængde på n elementer, kan dette gøres på

P(n,q)=\underbrace {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-q+1)} _{q\ \mathrm {faktorer} }={\frac {n!}{(n-q)!}}

forskellige måder,^[40] hvor størrelsen $n!$ (læses "n fakultét") er lig produktet af alle tallene fra n til 1:

n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1

I andre situationer udvælger man elementer fra en mængde i tilfældig rækkefølge, fx når man fra et almindeligt spil kort deler 13 kort ud til hver af 4 spillere. En sådan hånd af 13 kort kaldes en kombination, og her gælder alment, at hvis man skal udvælge q elementer fra en mængde på n elementer, kan dette gøres på

K(n,q)={\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-q+1)}{q\cdot (q-1)\cdot (q-2)\cdots 2\cdot 1}}={\frac {n!}{(n-q)!\cdot q!}}

forskellige måder. I tilfældet med kortspillet er der tale om

K(52,13)={\frac {52!}{39!\cdot 13!}}={\frac {52\cdot 51\cdot 50\cdots 40}{13\cdot 12\cdot 11\cdots 1}}=635.013.559.600

eller godt 635 mia forskellige kombinationer.^[41]

Sandsynlighedsregning

Uddybende artikel: Sandsynlighedsregning

I hverdagen stilles man ofte over for at skulle vurdere, hvor sandsynligt det er at noget bestemt vil indtræffe. Ved mange af sådanne hændelser er det svært eller umuligt at udtale sig præcist om sandsynligheder, fx udfaldet af en fodboldkamp eller et straffespark, mens det i andre situationer godt kan lade sig gøre. Dette gælder fx udfaldet af spil med en terning. De 6 mulige udfald af et terningkast udgør tilsammen udfaldsrummet U for eksperimentet ’at kaste en terning’,

U=\{1,2,3,4,5,6\}

Sandsynlighederne for hvert udfald beskrives af en tilknyttet funktion, kaldet en stokastisk variabel ('stokastisk' hentyder til, at udfaldet af eksperimentet er tilfældigt og altså ikke kan forudsiges). Spiller man med en terning, så er sandsynligheden p for at slå 1 eller 2 eller 3 eller 4 eller 5 eller 6 øjne i hvert tilfælde 1/6, svarende til, at der er tale om et symmetrisk sandsynlighedsfelt. Det gælder her, som for ethvert udfaldsrum, at summen af sandsynlighederne for de forskellige udfald er lig med 1:

p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=6/6=1

Hvis man spiller med to terninger, fås et udfaldsrum med $6\cdot 6=36$ elementer, idet hver terning kan falde på 6 forskellige måder. Normalt vil man ikke i et terningespil, som fx matador eller meyer, skelne mellem udfald med samme øjensum, som fx {1,2} og {2,1}, eller {1,3}, {2,2} og {3,1}, men blot registrere, at summen af øjnene er 3, hhv. 4. Udfaldsrummet for spil med to terninger kan derfor opdeles i 11 delmængder, kaldet hændelser, se figur.^[42]

Det simpleste eksperiment inden for sandsynlighedsregning er kast med en mønt, som har to mulige udfald, plat eller krone, og i tilfælde af en symmetrisk mønt hver med sandsynligheden s=½. Hvis man udfører et eksperiment med at kaste en mønt 5 gange, får man således et udfaldsrum med $2^{5}=32$ forskellige udfald. Disse fordeler sig på hændelserne '5 krone', '4 krone', '3 krone' osv., og sandsynlighederne for disse hændelser kan beskrives vha binomialfordelingen^[43]

P(q)=K(n,q)s^{q}(1-s)^{n-q}={\binom {n}{q}}s^{q}(1-s)^{n-q}

hvor q er antal krone, n er antal kast, mens s er sandsynligheden for krone i et kast.

Aritmetik og talteori

Opgave i aritmetik
Udregn denne brøk:
${\frac {3^{2}*2+({\sqrt {9}}-2)*3}{7}}$

Rækkefølge for udregninger:^[44]
1. parenteser
2. potenser og rødder
3. multiplikation og division
4. addition og subtraktion

Brøken kan omskrive således:
$(3^{2}*2+({\sqrt {9}}-2)*3)/7$
Først udregnes potenser og rødder,
$(9*2+(3-2)*3)/7$
dernæst indre parentes, ved subtraktion,
$(9*2+1*3)/7$
dernæst ydre parentes, først multipliceres,
$(18+3)/7$
dernæst adderes
$21/7$
og til slut divideres
$3$

Mennesker og samfund har fra de tidligste tider haft brug for at kunne håndtere tal. Først indførtes de naturlige tal 1, 2, 3, 4 osv.^[45] Senere blev tallet 0 indført,^[46] og negative tal,^[47] foruden rationale tal som 1/2 og -2/3, samt de reelle tal^[48] som fx ${\sqrt {2}}$ og pi, og senest de komplekse tal,^[49] som udvider talbegrebet fra at omfatte punkter langs en en-dimensionel tallinje til at omfatte punkter i en to-dimensionel plan.^[47] Med alle disse grupper af tal kan man lave beregninger ved hjælp af de fire regningsarter addition, subtraktion, multiplikation og division (også kaldet hhv at lægge sammen, trække fra, gange og dividere). Ud over regningsarterne kan man foretage procentregning, uddragning af rødder og potensopløftning.

Ved beregninger er det især divisionsoperationen, der kan være tidkrævende, og matematikere begyndte tidligt at undersøge mængden af divisorer for heltal, altså hvilke heltal der går op i andre heltal. Dette førte til studiet af primtal (heltal uden divisorer), som er en klassisk disciplin inden for talteori, men fx også studiet af fuldkomne tal (heltal, hvor summen af divisorerne er lig tallet, se figur).^{[kilde mangler]}

De gamle ægyptere havde udviklet et system til brøkregning baseret på stambrøker (brøker med tælleren 1), og multiplikationer blev udført efter et system af fordoblinger og additioner ved hjælp af tabeller af formen 2/n; man brugte fx brøken 256/81 som tilnærmelse til pi.^[50]

De gamle grækere opdagede,^[51] at ${\sqrt {2}}$ ikke kan skrives som en brøk, at det altså ikke er et rationalt tal, men et irrationalt, og deres opdagelse af, der findes irrationale tal menes på den tid at have afskedkommet en forskningsmæssig krise inden for matematik.^[52]

$1,2,\ldots$	$-1,0,1,\ldots$	${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},0.125,\ldots$	$\pi ,e,{\sqrt {2}},\ldots$	$i,3i+2,e^{i\pi /3},\ldots$
Naturlige tal	Heltal	Rationale tal	Irrationale tal	Komplekse tal
$36:9=4$
Aritmetik	Talteori

Algebra

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Løsninger til andengradsligningen

ax^{2}+bx+c=0

hvor

a\neq 0

. Symbolerne

a,b,c

repræsenterer ukendte tal med konstant værdi, mens den variable

x

er ligningens løsning.

Algebra er en vigtig matematisk disciplin, som mange skoleelever i en eller anden form stifter bekendtskab med, i Danmark typisk i løbet af gymnasiet, i USA i high school. Undervisningen i algebra bygger videre på elevernes kendskab til aritmetik, men hvor aritmetik drejer sig om at behandle bestemte tal,^[53] arbejder man i algebra med tal med ukendt, konstant eller skiftende størrelse.^[54] Ved hjælp af disse algebraiske størrelser, samt en særlig algebraisk notation og de aritmetiske regneregler, er det muligt at beskrive forholdet mellem forskellige talstørrelser på formel og præcis måde, og dermed angive almene løsninger for en lang række beregningsopgaver. Inden for såvel naturvidenskab i almindelighed som matematik i særdeleshed findes der mange kvantitative sammenhænge, såsom andengradsligningen (se figur), som er beskrevet ved hjælp af algebraiske ligninger. Undersøgelsen af metoder til at løse ligninger fører til studiet af abstrakt algebra. Det for fysikerne vigtige begreb vektorer, der er generaliseret til vektorrummet og studeret i lineær algebra, tilhører de to grene algebra og rum.

Elementær algebra

Opgave i algebra
Spørgsmål: Hvis B er fire år ældre end A, og de tilsammen er tolv år, hvor gamle er så A og B?

Svaret findes ved at opstille to ligninger med to ubekendte, nemlig A’s alder x og B’s alder y:
Ligning 1 $y=x+4$
Ligning 2 $x+y=12$

Ligning 2 kan omskrives til:
$y=12-x$
Nu kan højre side af de to ligninger sættes lig hinanden:
$x+4=12-x$
som kan omskrives til:
$2x=8$
eller:
$x=4$
og ved indsættelse i Ligning 1:
$y=x+4=8$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[a]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[b]

[26]

[27]

[28]

[c]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[d]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]