Kovarians

En kovarians er et spredningsforhold mellem to forskellige stokastiske variabler X og Y og betegnes ${\displaystyle {\mbox{Cov}}(X,Y)}$. Den regnes:

${\displaystyle {\mbox{Cov}}(X,Y)={\mbox{E}}[(X-{\mbox{E}}(X))\cdot (Y-{\mbox{E}}(Y))]}$

hvor ${\displaystyle {\mbox{E}}(X)}$ angiver middelværdien for ${\displaystyle X}$. En fortolkning af formlen er, at hvis ${\displaystyle X}$ er høj i forhold til sin middelværdi når ${\displaystyle Y}$ er høj i forhold til sin middelværdi (og ligeledes med lav), varierer ${\displaystyle X}$ og ${\displaystyle Y}$ "sammen" (derfra navnet kovarians, ko = sammen).

Kovarians er ikke uafhængig overfor skalering: Hvis ${\displaystyle X}$ bliver fordoblet, bliver kovariansen også fordoblet. Korrelation er et andet mål, som kan bruges, når man vil undgå dette problem.

Empiriske størrelser

For en stikprøve med ${\displaystyle n}$ datapunkter ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ og ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{n})}$ beregnes empiriske kovarians således:

${\displaystyle {\mbox{Cov}}(X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}$

hvor ${\displaystyle {\bar {x}}}$ er gennemsnittet af ${\displaystyle x}$

Regneregler

Rækkefølgen af X og Y er ligegyldig:

${\displaystyle \ {\mbox{Cov}}(X,Y)={\mbox{Cov}}(Y,X)}$

Kovariansen mellem en variabel og sig selv er lig variansen:

${\displaystyle \ {\mbox{Cov}}(X,X)={\mbox{Var}}(X)}$

Skaleres X og Y med konstanterne a henholdvist b, vil kovariansen skaleres med produktet af de to konstanter:

${\displaystyle {\mbox{Cov}}(a\cdot X,b\cdot Y)=a\cdot b\cdot {\mbox{Cov}}(X,Y)}$

Kovarians kan også skrives

${\displaystyle {\mbox{Cov}}(X,Y)={\mbox{E}}(X\cdot Y)-{\mbox{E}}(X)\cdot {\mbox{E}}(Y)}$

Heraf følger, at hvis X og Y er uafhængige, vil kovariansen være nul, da ${\displaystyle {\mbox{E}}(X\cdot Y)={\mbox{E}}(X)\cdot {\mbox{E}}(Y)}$ for uafhængige variable.

Se også

• Varians
• Korrelation
• Autokovarians

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.