Den pythagoræiske læresætning

Den pythagoræiske læresætning beskriver forholdet mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Det er en af de grundlæggende sætninger i den euklidiske geometri. Den siger, at i alle retvinklede trekanter er summen af kateternes kvadrat lig hypotenusens kvadrat. Sætningen kan også udtrykkes som ligning, idet kateternes længder benævnes ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ og hypotenusens benævnes ${\displaystyle c}$, ligesom på illustrationen:

${\displaystyle {a^{2}}+{b^{2}}={c^{2}}\!}$

Et visuelt bevis for den pythagoræiske læresætning.

Det er derfor muligt at beregne en sidelængde i en retvinklet trekant, når de to andre sidelængder er kendte. Fx findes hypotenusen ${\displaystyle c}$ ved at tage kvadratroden af summen af ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$s kvadrater, altså

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,}$

Læresætningen er opkaldt efter Pythagoras. Princippet var velkendt både for egyptere og babylonere^[1] længe før Pythagoras' tid, når det gjaldt en trekant med målene 3, 4 og 5; men Pythagoras beviste, at princippet gjaldt i alle tilfælde. ^[2]

Sæt af heltalige løsninger til den pythagoræiske læresætning kaldes pythagoræiske tal.

Beviser

Der findes flere måder at bevise den pythagoræiske læresætning på.

Bevis ud fra arealer

Pythagoras' bevis.

Det omskrevne kvadrat har arealet:

${\displaystyle A=(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\!}$

Det samme areal kan beregnes som summen af arealerne af de fire trekanter og arealet af det indskrevne kvadrat:

${\displaystyle A=4\cdot \left({\frac {a\cdot b}{2}}\right)+c^{2}=2\cdot a\cdot b+c^{2}\!}$

Disse to forskellige udtryk for det samme areal sættes lig hinanden:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b=2\cdot a\cdot b+c^{2}\!}$

Denne ligning reduceres til:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!}$

Hermed er sætningen bevist.

Anvender ensvinklede trekanter

${\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}$

${\displaystyle {\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad e={\frac {b^{2}}{c}}\quad (2)}$

Fra billedet ${\displaystyle c=d+e\,\!}$. Og ved at erstatte ligninger (1) og (2):

${\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}$

Mangedobling for c:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}$

Den udvidede pythagoræiske læresætning

Der findes imidlertid også en udvidet pythagoræisk læresætning, som gælder for alle trekanter, ikke kun de retvinklede. Denne kaldes cosinusrelationen. Den kaldes den udvidede Pythagoras, da den for det første i sin opbygning minder meget om Pythagoras' læresætning og desuden er beviset for sætningen baseret herpå.

Cosinusrelationerne er givet ved

${\displaystyle {a^{2}}={b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}\!}$,

hvor ${\displaystyle A}$ er vinklen mellem linjerne ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$. Her er det lige meget hvilke af siderne der benævnes med ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$.

Pythagoras' omvendte sætning

Den omvendte sætning af den pythagoræiske læresætning er også sand. Det vil sige at hvis længden af siderne i en trekant opfylder: :${\displaystyle {a^{2}}+{b^{2}}={c^{2}}}$, så er vinkel C en ret vinkel, og derfor er trekanten retvinklet.

Referencer

1. Aug 5th 2021, economist.com: The Babylonians used Pythagorean ideas long before Pythagoras. Surveyors employed them to measure out land, backup: Citat: "...MOST READERS will have encountered Pythagoras’s theorem about right-angled triangles—that the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the other two sides—at school. But the less-mathematically inclined might have been tempted to ask when such knowledge would ever be useful in real life. One answer, predating Pythagoras by over 1,000 years, is in land surveying...Lurking in a museum in Istanbul is a 3,700-year-old clay tablet known as Si.427. It has been there since it was dug up in the 19th century in Sippar, an ancient Babylonian city in what is now Iraq...What is remarkable is that its text describes the use of what are now called Pythagorean triples to draw accurate right angles..."
2. Eiliv Skard: Filosofien i oldtiden (s. 40), forlaget Aschehoug, Oslo 1972, ISBN 82-03-00680-9

Se også

• Retvinklet trekant
• Sinusrelation
• Cosinusrelation.

Bog

• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3

Eksterne henvisninger

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Den pythagoræiske læresætning
• Bevis fra Hans Christian Andersen: Formens evige Magie Arkiveret 29. oktober 2013 hos Wayback Machine