Cosinusrelation

Cosinusrelationer er trigonometriske formler der bestemmer cosinus til vinklerne i en trekant hvori man kender sidernes længder. Kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C skrives formlerne således:^[1]

${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}}$

${\displaystyle \cos B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\cdot a\cdot c}}}$

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}}$

En generel trekant med siderne a, b og c og vinkler A, B og C.

For bestemmelse af sider kan denne omskrivning anvendes:

${\displaystyle {a^{2}}={b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos A}}$

${\displaystyle {b^{2}}={a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos B}}$

${\displaystyle {c^{2}}={a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C}}$

Bemærk at cosinusrelationen gælder for alle trekanter, ikke kun retvinklede trekanter. På grund af lighed med Pythagoras' læresætning kaldes cosinusrelationen også den udvidede Pythagoras.

Ved anvendelse af cosinusrelationerne vil man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel. Løser man ligningen med hensyn til en vinkel, er der i princippet uendeligt mange løsninger. Da en vinkel i en trekant altid er mellem 0° og 180° vælger vi den såkaldt principale løsning.

Cosinusrelationen kaldes også den udvidede Pythagoræiske læresætning. Hvis ${\displaystyle C}$ ovenfor er en ret vinkel gælder ${\displaystyle C=90^{\circ }}$. Da ${\displaystyle \cos(90^{\circ })=0}$ reduceres cosinusrelationen netop i dette tilfælde til Pythagorases læresætning ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Bevis

Bevis for cosinusrelationerne

For at bevise cosinusrelationerne tegner man en trekant, som man deler op i to trekanter (for at få rette vinkler at regne med). Linjen fra vinklen A til siden a = højden (h).

Bevis for cosinusrelationen b² = c² + a² – 2a ${\displaystyle \cdot }$ c ${\displaystyle \cdot }$ cos(B) hvis vinkel B er spids:

Med pythagoras får man af den grå trekant: (a – x)² + h² = b² ⇔ h² = b² – (a – x)².

Og tilsvarende af den anden trekant: h² + x² = c² ⇔ h² = c² – x².

Nu er h² isoleret i hver af disse ligninger. De kan derfor sættes lig hinanden:

b² – (a – x)² = c² – x².

Nu skal b² isoleres, derfor får man: b² = c² – x² + (a – x)².

Parenteserne i denne ligning udregnes: b² = c² – x² + a² – 2ax + x².

Dette reduceres til: b² = c² + a² – 2ax.

Vinkel B (i den hvide retvinklede trekant) kan udregnes af: cos(B) = x / c Ved at isolere x i denne ligning får man: x = cos(B) · c.

Da x = cos(B) · c kan man i ligningen b² = c² + a² – 2ax fra før, erstatte x'et med cos(B) · c.

Dvs. b² = c² + a² – 2ax ⇔ b² = c² + a² – 2a · c · cos(B).

Q.E.D

Nu er beviset færdigt.

De andre former af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde.

Cosinusrelationen for sfæriske trekanter

Sfærisk trekant

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder gælder andre formler som også hedder cosinusrelationerne. De sfæriske cosinusrelationer er:^[2]

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A}$

${\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C}$

Se også

• Trekant
• Trekanttilfælde
  • Retvinklet trekant
• Sinusrelationen
• Sfærisk trigonometri

Bøger

• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3
• Schultz, Jonny (1990): Matematik højniveau 1 - plangeometri og rumgeometri. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-16-7