Linjeelement

Et linjeelement er en kort stump af en differentiallignings løsningskurve (også kaldet^[1] integralkurve^[2]); ved at tegne flere linjeelementer kan man danne et overblik over løsningskurver.^[3] Tegning af linjeelementer (eng. slope marks) kan man i matematisk analyse benytte til at finde løsninger til differentialligninger.^[4]

Denne artikel omhandler linjeelementer som et nyttigt værktøj ved løsning af differentialligninger. På engelsk har ordet line element en anden betydning, nemlig første fundamentalform, der bl.a. har en betydning for beregning af kurvelængder.

Linjeelementer hørende til differentialligningen f'(x)=x²-x-2. Koordinatsystemets førsteakse er x og andenaksen er f(x). Løsningskurver skal tegnes så de forløber tangentielt til linjeelementerne. Tre vilkårlige løsningskurver er således indtegnet.

Hvis det om en funktion f gælder, at f(x₀)=y₀ og f'(x₀)=a₀, så siger man, at funktionen f går gennem linjeelementet (x₀, y₀; a₀), som også kan skrives som (x₀, f(x₀); f'(x₀)).^[5]

Betragt f.eks. differentialligningen f'(x)=x²-x-2. Ligningen har som bekendt uendelig mange løsninger. I et koordinatsystem med førsteaksen x og andenaksen y=f(x) vil der gå én og kun én løsning gennem hvert punkt (x₀, y₀). Et linjeelement definerer et punkt med dets koordinater (x₀, y₀) samt differentialkvotienten a₀ af løsningskurven gennem dette punkt. Linjeelementerne kan derfor anvendes til at tegne hele løsningskurver.