Regnearternes hierarki

Regnearternes hierarki (også kaldet regnearternes rækkefølge^[1], operatorpræcedens og operatorrangfølge^[2]) er inden for matematikken (aritmetik, algebra) og datalogien,^[3] regelsættet der angiver rækkefølgen^[4] delberegninger skal udføres i,^[5] for at evaluere et givet matematisk udtryk i infiksnotation. F.eks. har multiplikation forrang fremfor addition.

Definition

Regnearternes hierarki og paranteser, som anvendes indenfor matematik, videnskab, teknologi og mange computer programmeringssprog, er her. Den højeste præcedens er øverst:^{[5][6][7][8][9]}

Præcedens	parantes eller operator	Kommentar
1	()   []   {}	Paranteser - men helst ikke〈〉da de kan forveksles med mindre-end og større-end tegn. Underforståede paranteser: N'te rods-tegnets (${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$) øverste streg kan forlænges - og i så fald skal hele udtrykket "x" under stregen, opfattes som om udtrykket har en underforstået parantes. Alternativ brug: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{}}(x)}$. Brøkstregen ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ kan forlænges, og udtrykkene foroven "a" og forneden "b" skal opfattes, som om udtrykkene har hver deres underforståede paranteser.
2	!	Fakultet (Andre unære operatorers operatorpræcedens (fx fortegn (+) og (-)) afhænger af konventioner)
3	^ ↑	Potensopløftning og roduddragning. I nogle programmeringssprog anvendes to stjerner (**) for potensopløftning. N'te rod kan skrives som ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$ eller x^(${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$).
4	*   ×   ⋅   /	multiplikation og division. Divisionstegn kun på engelsk: (÷) som kan misforstås som minustegn. Norsk divisionstegn kolon (:).
5	+   -	Addition og subtraktion. Bemærk: Binære operatorer; plustegn (+), minustegn (-).

Det betyder at når, i et matematisk udtryk, et underudtryk er mellem to operatorer, skal operatoren, som er højere i regnearternes hierarki - udregnes først.

Eksempler

Eksempel med addition og multiplikation

Det matematiske udtryk: ${\displaystyle 2+3\cdot 4}$

skal fortolkes som ${\displaystyle 2+(3\cdot 4)=14}$

og ikke fortolkes som ${\displaystyle (2+3)\cdot 4=20}$

Eksempel med fakultet og multiplikation

Det matematiske udtryk: 2*3!

skal fortolkes som 2*(3!) = 12

og ikke fortolkes som (2*3)! = 720

Specialtilfælde

Unært minustegn

Der er forskellige konventioner vedrørende den unære operator − (fx minus operator). I skreven eller udskreven matematik, bliver udtrykket −3² fortolket som 0 − (3²) = − 9.^[7][10]

I nogle anvendelser og programmeringssprog, fx Microsoft Excel, PlanMaker (og andre regnearksprogrammer) og programmeringssproget bc, har unære operatorer højere præcedens end binære operatorer, dvs fortegn som fx negativt fortegn har højere præcedens end potensopløftning, så i disse sprog vil −3² blive fortolket som (−3)² = 9.^[11] Dette gælder ikke den binære minus operator −; i fx Microsoft Excel vil formlerne =−2^2, =-(2)^2 og =0+−2^2 returnere 4, hvorimod formlerne =0−2^2 og =−(2^2) returnere −4.

Blandet division og multiplikation

i dette afsnit anvendes det engelske divisionssymbol "÷"

Der kan være flertydighed i anvendelsen af skråstreg symbolet / i udtryk såsom 1/2x.^[12] Hvis man omskriver dette udtryk som 1 ÷ 2x og så fortolker divisionssymbolet som visende den multiplikative inverse, fås:

1 ÷ 2 × x = 1 × 1/2 × x = 1/2 × x.

Med denne fortolkning 1 ÷ 2x er det lig med (1 ÷ 2)x.^[7][13] Men i en del akademisk litteratur, anvendes underforstået multiplikation, som bliver fortolket som havende højere præcedens end division, sådan at 1 ÷ 2x er lig 1 ÷ (2x), ikke (1 ÷ 2)x.

Fx er manuskript indsendelsesinstruktionerne for tidsskriftet Physical Review at (kun underforstået?) multiplikation har højere præcedens end division med en skråstreg,^[14] og dette er også konventionen observeret i prominente fysikbøger såsom Course of Theoretical Physics af Landau og Lifshitz - og Feynman Lectures on Physics.^{[15] [16]}

Lommeregner

Nogle lommeregnere respekterer regnearternes hierarki, andre gør ikke.^[7]

Programmeringssprog

Nogle programmeringssprog anvender regnearternes hierarki, som er kompatibel med hvad der anvendes i matematik,^[17] selvom andre, såsom APL, Smalltalk, Occam and Mary, ikke har operator præcedens regler (i APL er evaluering striks fra højre til venstre; i Smalltalk osv. er det striks venstre til højre).

Yderligere, fordi mange operatorer ikke er associative, er præcedensen indenfor ethvert enkelt niveau sædvanligvis defineret ved at gruppere venstre til højre så at 16/4/4 fortolkes som (16/4)/4 = 1 i stedet for 16/(4/4) = 16; sådanne operatorer bliver måske fejlagtigt kaldet for "venstre associativ". Undtagelser eksisterer; fx, sprog med operatorer som korresponderer til cons operation på lister grupperer dem typisk fra højre til venstre ("højre associativ"), fx i Haskell, 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4].

Skaberen af programmeringssproget C har sagt at præcedens i C (programmeringssprog som låner disse regler fra C, er fx: C++, Perl og PHP), ville være mere formålstjenligt hvis bitwise operatorer flyttes op over sammenligningsoperatorer.^[18] Men mange programmører er blevet tilvænt til denne præcedens. Det relative præcedens niveau af operatorer, der findes i mange C-lignende sprog, er som følger:

Præcedens	parantes eller operator	Kommentar
1	()   []   ->   .   ::	Funktionskald, virkefelt (scope), array/member access
2	!   ~   -   +   *   &   sizeof   typekonvertering (type cast)   ++   --	(fleste) unære operatorer, sizeof og typekonvertering (højre til venstre)
3	*   /   % MOD	Multiplikation, division, modulo
4	+   -	Addition og subtraktion
5	<<   >>	Bitvis shift venstre og højre
6	<   <=   >   >=	Sammenligning: mindre-end og større-end
7	==   !=	Sammenligning: lig og ikke-lig
8	&	Bitvis AND
9	^	Bitvis exclusive OR (XOR)
10	|	Bitvis inclusive (normal) OR
11	&&	Logisk AND
12	||	Logisk OR
13	? :	Betinget udtryk (ternær)
14	=   +=   -=   *=   /=   %=   &=   |=   ^=   <<=   >>=	Tildelingsoperatorer (højre til venstre)
15	,	Kommaoperator

Se også

• Omvendt polsk notation (algebraisk postfiksnotation)

Bøger

• Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1990): Obligatorisk matematik. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7783-630-8
• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3