Reciprokke Fibonacci-konstant

Den reciprokke Fibonacci-konstant, eller ψ, er defineret som summen af de reciprokke værdier af Fibonacci-tallene:

${\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .}$

Da forholdet mellem to på hinanden følgende led, ${\displaystyle {\frac {F_{k+1}}{F_{k}}}}$, nærmer sig den reciprokke værdi af det gyldne snit, ${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}=0,6180339887\ldots .}$, og da det er mindre end 1, siger kvotientkriteriet at summen konvergerer.

Værdien af ψ er cirka

${\displaystyle \psi =3,359885666243177553172011302918927179688905133732\dots .}$^[1]

Bill Gosper har beskrevet en hurtig algoritme for beregning af den approksimative værdi. Den reciprokke Fibonacci-række giver O(k) cifres nøjagtighed for k led, mens Gospers konvergens-acceleration giver O(k²) cifre.^[2] ψ er et irrationalt tal. Dette blev formodet af Paul Erdős, Ronald Graham og Leonard Carlitz, og bevist i 1989 af Richard André-Jeannin.^[3]

Tallets kædebrøks repræsentation er givet ved:

${\displaystyle \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,.}$ ^[4]