Doppeloperatorintegral
Integrale in der Funktionalanalysis und der Störungstheorie / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
Doppeloperatorintegrale (DOI, englisch Double Operator Integrals) sind in der Funktionalanalysis und der Störungstheorie Integrale der Form
wobei ein beschränkter linearer Operator zwischen zwei separablen Hilberträumen ist,
zwei Spektralmaße sind, wobei hier für die Menge der orthogonalen Projektionen über steht, und eine messbare skalarwertige Funktion ist, welche Symbol des DOI genannt wird. Die Integrale sind hier in Form von Stieltjes-Integralen zu verstehen.
DOI tauchten das erste Mal 1956 in einer Arbeit von Yuri L. Daletskii und Selim G. Krein auf, welche zwei selbstadjungierte Operatoren und auf Hilberträumen untersuchten (wobei die Perturbation von ist) und die Ableitung für bestimmte operatorwertige Funktionen
in folgender Form
fanden, wobei hier das Spektralmaß von ist.[1] Die Theorie der Doppeloperatorintegrale wurde im Wesentlichen von Michail Schljomowitsch Birman und Mikhail Zakharovich Solomyak in den späten 1960ern und 1970ern entwickelt.[2][3] DOI können verwendet werden, um Normen von Operatoren-Differenzen
für operator-lipschitzstetige Funktionen abzuschätzen und sind dadurch wichtig in der Störungstheorie.
DOI sind Spezialfälle der Multipleoperatorintegralen[4]