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Kugel mit Radius eins um den Nullpunkt eines Vektorraums Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Unter der Einheitskugel versteht man in der Mathematik die Kugel mit Radius eins um den Nullpunkt eines normierten Vektorraums. Dabei wird ein verallgemeinerter Begriff des Abstands zugrunde gelegt, so dass je nach Zusammenhang die Einheitskugel keine Ähnlichkeit mehr mit einer herkömmlichen Kugel haben muss. Diese Einheitssphäre ist der Rand der Einheitskugel, im zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der euklidischen Norm ist dies der Einheitskreis.
Es sei ein normierter Vektorraum. Dann nennt man die Menge der Punkte, deren Abstand vom Nullpunkt kleiner als eins ist, die offene Einheitskugel in :
Entsprechend bezeichnet
die abgeschlossene Einheitskugel in sowie
die Einheitssphäre in .
Mittels Translation und Skalierung lassen sich in einem Raum beliebige Kugeln in die Einheitskugel überführen. Deshalb reicht es oft aus, bestimmte Aussagen nur für die Einheitskugel nachzuweisen, um die Gültigkeit für beliebige Kugeln zu folgern.
Im Falle des euklidischen Raumes definiert man die abgeschlossene Einheitskugel bezüglich der euklidischen Norm mittels
Einheitskugeln können alternativ im bezüglich anderer Normen definiert werden, beispielsweise der Summennorm (1-Norm) oder der Maximumsnorm . Die geometrische Gestalt der Einheitskugel hängt von der gewählten Norm ab und ist nur mit der euklidischen Norm tatsächlich kugelförmig.
Das Volumen einer -dimensionalen, euklidischen Einheitskugel (üblich als Ball bezeichnet) beträgt
Hierbei ist die Gammafunktion, eine analytische Fortsetzung der (verschobenen) Fakultät auf die reellen Zahlen. Für gerades vereinfacht sich die Formel zu .
Die Oberfläche eines (üblich als Sphäre bezeichnet) beträgt
Es gelten folgende Rekursionen:
Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass das Volumen der Einheitskugel in Abhängigkeit von der Raumdimension bis zunächst zunimmt, um dann wieder abzufallen – und sogar für gegen 0 zu gehen. Die Oberfläche nimmt von der Raumdimension bis zunächst zu, und geht für gegen 0.
Volumen und Oberfläche der Einheitskugel | ||||
---|---|---|---|---|
Dimension | Volumen | Oberfläche | ||
0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
2 | 3,141 | 6,283 | ||
3 | 4,189 | 12,57 | ||
4 | 4,935 | 19,74 | ||
5 | 5,264 | 26,32 | ||
6 | 5,168 | 31,01 | ||
7 | 4,725 | 33,07 | ||
8 | 4,059 | 32,47 | ||
9 | 3,299 | 29,69 | ||
10 | 2,550 | 25,50 | ||
12 | 1,335 | 16,02 | ||
20 | 0,0258 | 0,516 | ||
25 | 0,000958 | 0,0239 |
Die Einheitskugel bezüglich der Summennorm ist geometrisch ein Kreuzpolytop, ihr Volumen beträgt .
Die Einheitskugel bezüglich der Maximumsnorm ist ein Hyperwürfel mit Kantenlänge 2, hat also das Volumen .
In vielfältiger Art wird die Einheitskugel in den Geowissenschaften angewandt, insbesondere für Berechnungen auf der Erdkugel. Sie erfolgen mit sogenannten Kugeldreiecken und den Formeln der Sphärischen Trigonometrie, wenn eine Genauigkeit von etwa 0,1 % genügt, zum Beispiel bei der Geografie und Kartografie, Globenberechnungen und Navigation. Die wahren Distanzen erhält man aus den Kugelbögen durch Multiplikation mit dem Erdradius.
Für höhere Genauigkeit – vor allem in der Geodäsie – ist statt der Erdkugel das Erdellipsoid zu verwenden. Mit der Methode der Verebnung sind aber Dreiecksberechnungen auch sphärisch möglich.
Geologen verwenden für Richtungsanalysen von Gesteinsschichten oder Klüften eine Einheitskugel, die sie Lagenkugel nennen. In sie werden die Normalenvektoren der jeweiligen Ebenen eingetragen und danach in flächentreuer Azimutalprojektion dargestellt.
Auch astronomische Berechnungen werden seit jeher auf der Einheitskugel um den Beobachter durchgeführt. Sie entspricht dem freiäugigen Anblick des Himmelsgewölbes und wird Himmelskugel genannt, auf der die sphärische Astronomie eigene Koordinatensysteme für Winkelmessungen und Sternörter definiert hat. Ob der Kugelradius mit 1 oder mit ∞ angenommen wird, ist dabei ohne Belang.
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