KPZ-Fixpunkt
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Der KPZ-Fixpunkt (englisch KPZ fixed point) ist in der Stochastik und der statistischen Mechanik ein Markow-Feld und mutmaßlicher universeller Grenzwert einer Vielzahl von stochastischen Modellen, welche die KPZ-Universalitätsklasse bilden. Diese Universalitätsklasse beinhaltet Modelle, die ein Analogon zu einer Höhenfunktion besitzen und deren Fluktuation als charakteristisches Potenzgesetz wächst. In der Klasse befindet sich auch die KPZ-Gleichung, eine nichtlineare stochastische partielle Differentialgleichung unter gaußschem Rauschen, die das kanonische Modell zur Modellierung des Wachstums von Grenzflächen ist.
Die starke KPZ-Universalitätsvermutung behauptet nun, dass alle sich in der KPZ-Universalitätsklasse befindenden Modelle unter einer charakteristischen Skalierung der Höhenfunktion, genannt 1:2:3-Skalierung, gegen den eindeutigen universalen KPZ-Fixpunkt konvergieren, abhängig von der gewählten Anfangsbedingung. Der KPZ-Fixpunkt besitzt somit eine universelle Rolle wie es die brownsche Bewegung in der Stochastik hat. Im Gegensatz zur gaußschen Universalität ist aber die nicht-gaußsche Universalität in der Stochastik kaum erforscht.
Die KPZ-Gleichung hingegen verbindet den KPZ-Fixpunkt mit einem weiteren Fixpunkt einer gaußschen Universalitätsklasse. Es wird vermutet, dass sie der einzige heterokline Orbit zwischen den beiden Punkten ist. Sie selbst besitzt eine eigene restriktivere Universalitätklasse.
Der KPZ-Fixpunkt genügt keiner stochastischen Differentialgleichung, er erfüllt aber eine Hopf-Lax-Variationsformel unter weißem Rauschen. Er besitzt zusätzlich einige Symmetrien, so ist er invariant unter einer beidseitigen brownschen Bewegung sowie unter der 1:2:3-Skalierung.
Die KPZ-Universalitätsklasse wurde bereits 1986 mit Erscheinen der KPZ-Gleichung eingeführt. Der KPZ-Fixpunkt hingegen wurde erst im Jahr 2016 durch die Mathematiker Konstantin Matetski, Jeremy Quastel und Daniel Remenik konkretisierten. Diese konstruierten den KPZ-Fixpunkt für den Fall auf einem polnischen Raum, dem Raum der oberhalbstetigen Funktionen ausgestattet mit der Topologie der lokalen oberhalbstetigen Konvergenz, und leiteten Übergangswahrscheinlichkeiten in Form von Fredholm-Determinanten her. Sie untersuchten den TASEP („Totally Asymmetric Simple Exclusion Process“) aus der KPZ-Universalitätsklasse unter allgemeinen Anfangsbedingungen und den Random Walk der assoziierten Höhenfunktion. Sie leiteten für die Multipunktverteilung der Partikel in der Weyl-Kammer eine explizite Darstellung der Fredholm-Determinanten-Formel durch Umschreiben der im Korrelationskern involvierten biorthogonalen Funktionen her, dies ermöglichte den Kern in Form von Eintrittszeitwahrscheinlichkeiten eines Random Walks darzustellen. Schließlich ließen sie die Höhenfunktion in der oben genannten Topologie gegen den KPZ-Fixpunkt konvergieren.[1]
Der KPZ-Fixpunkt ist nach den Physikern M. Kardar, G. Parisi und Y.Zhang benannt.