Kooperative Spieltheorie
Teilgebiet der mathematischen Spieltheorie / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
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Die kooperative Spieltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Spieltheorie, deren Fokus auf den Auszahlungen liegt, die durch die Kooperation begründet sind.[1] Hier sind einige Bemerkungen zu den Unterschieden der kooperativen und der nichtkooperativen Spieltheorie zu finden. In der kooperativen Spieltheorie werden durchsetzbare Vereinbarungen getroffen und eine Zentralinstanz ist in der Lage, das Verteilungsproblem zu lösen.[2] Die Spieler sind risikoneutral und eigennutzenmaximierend.[3] Die Auszahlungen der Spieler beruhen insbesondere auf zwei Pfeilern. Zum einen hängen die Auszahlungen von der Koalitionsfunktion ab, diese beschreibt das kooperative Ergebnis der Spieler, die sich zu der jeweiligen Koalition zusammengeschlossen haben.[4] Zum anderen ist das angewandte Lösungskonzept entscheidend, um das kooperative Ergebnis der Koalition fair zu verteilen. Die verschiedenen Lösungskonzepte definieren Fairness dabei durch die Erfüllung verschiedener Eigenschaften.[5] Als wichtige Vertreter der kooperativen Spieltheorie erhielten 2005 Robert Aumann und 2012 Lloyd S. Shapley den Wirtschaftsnobelpreis.
Die Spieler in der kooperativen Spieltheorie werden häufig in einer (endlichen) Menge (Spielermenge) zusammengefasst und die Spieler selbst von bis durchnummeriert. Teilmengen der Spielermenge nennt man auch Koalitionen, wobei als die große Koalition bezeichnet wird. Die Menge aller Koalitionen ist , die Potenzmenge von .[6]
Spiele werden meist durch eine Spielermenge sowie eine Koalitionsfunktion definiert. Koalitionsfunktionen (häufig auch charakteristische Funktionen genannt) dienen dazu, die ökonomischen, politischen oder sozialen Möglichkeiten zu beschreiben, die allen Koalitionen offenstehen. Man unterscheidet Koalitionsfunktionen mit und Koalitionsfunktionen ohne transferierbaren Nutzen; dementsprechend unterscheidet man auch zwischen Spielen mit und ohne Seitenzahlungen.
Spiele und Koalitionsfunktionen mit transferierbarem Nutzen
Bei transferierbarem Nutzen wird jeder Koalition durch die Koalitionsfunktion eine reelle Zahl (Nutzenwert) zugeordnet, die man den (Koalitions-)Wert (englisch: worth) nennt:
- und .[7]
Im einfachsten Fall handelt es sich beim transferierbaren Nutzen um eine Geldzahlung.[8] Wichtig ist dabei, dass eine Geldeinheit für jeden Spieler den gleichen Nutzen stiftet (Numéraire-Gut).[9]
Das Tupel , bestehend aus der endlichen Spielermenge und der Koalitionsfunktion , wird (kooperatives -Personen-)Spiel genannt.[10]
Neben den beschriebenen kooperativen Spielen existieren weitere Situationen, in denen mittels einer Koalitionsfunktion Analysen bzgl. der Fairness einer Verteilung getroffen werden können, bzw. allgemeiner, in denen die Anwendung von Instrumenten der kooperativen Spieltheorie relevant ist.[11] Hervorzuheben ist dabei insbesondere das sogenannte Kosten(aufteilungs)spiel. Es werden statt gemeinsam erwirtschafteter Ergebnisse, entsprechend des kooperativen Spieles, gemeinsam verursachte Kosten untersucht.[12]
Beispiel 1
Im sogenannten Handschuhspiel gibt es Spieler mit linken Handschuhen und solche mit rechten Handschuhen. Die jeweiligen Mengen und sind disjunkt () und ihre Vereinigung ergibt (). Man nimmt an, dass nur Handschuhpaare einen Wert (von einer Geldeinheit) haben. Der Wert einer Koalition (der Funktionswert der Koalitionsfunktion bei ) ist gleich der Anzahl der Handschuhpaare, die die Spieler aus bilden können, und damit der Anzahl der Geldeinheiten, die sie damit erwirtschaften können:
Das konkrete Handschuhspiel mit und hat die Koalitionfunktion:
Beispiel 2
Die Spieler , sowie können ein Investitionsprojekt allein, zu zweit oder zu dritt umsetzen. Die entscheidende Frage ist, wie lässt sich der Wert der großen Koalition fair aufteilen. Antworten liefern die Lösungskonzepte der kooperativen Spieltheorie.
Eigenschaften des kooperativen Spiels
Wünschenswerte Eigenschaften der Kooperation charakterisieren die Ziele der Spieler. Diese sind insbesondere
- die Nicht-Negativität (für alle )[15] ,
- die Monotonie (für alle )[16],
- die Superaddivität (für alle mit )[17] sowie
- die Konvexität (für alle )[18] der Spiele bzw. der Koalitionsfunktionen.
Hierbei gilt die Beziehung:
Eine Kooperation soll keinen Schaden verursachen (Nicht-Negativität).[20] Die Monotonie besagt, dass eine größer werdende Koalition hinsichtlich der Auszahlungen nicht schädlich ist. Die Synergie aus kooperativem Verhalten wird durch die Superaddivität beschrieben. Das Koalitionsergebnis des Schnittes zweier Koalitionen ist mindestens so groß, wie die Summe der Auszahlungen der zwei disjunkten Koalitionen. Die Konvexität besagt, dass zahlenmäßig größere Koalitionen höhere Auszahlungen erzielen.[21]
Zudem ist die Klasse der wesentlichen Spiele [22] zu nennen. Diese Definition ist dahingehend von Interesse, da es in nicht-wesentlichen Spiele keinen Grund für die Koalitionsbildung gibt. Denn in jeder Koalition erhält jeder Spieler nur den Wert, den er als Alleinspieler schon sicher hat.[23]
Spiele und Koalitionsfunktionen ohne transferierbaren Nutzen
Bei nichttransferierbarem Nutzen wird jeder Koalition durch die Koalitionsfunktion eine Menge von Auszahlungsvektoren zugeordnet.[24] Ein Beispiel ist die Tauschökonomie. Spieler können durch den Tausch von Güterbündeln unterschiedliche Nutzenvektoren realisieren.[25] Nichttransferierbarer Nutzen liegt z. B. auch vor, wenn eine Koalition durch ihre Kooperation einen Zuwachs oder Verlust an immateriellen Gütern wie Ruhm, Ehre, Gesundheit, Freiheit usw. erlangt.[26]