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mathematischer Satz Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Minkowski-Ungleichung, auch als Minkowski'sche Ungleichung oder Ungleichung von Minkowski bezeichnet, ist eine Ungleichung im Grenzgebiet zwischen der Maßtheorie und der Funktionalanalysis, zwei Teilbereichen der Mathematik. Sie wird in unterschiedlichen Versionen formuliert, meist für den Folgenraum sowie die Lebesgue-Räume und . In diesen Räumen entspricht sie der Dreiecksungleichung und macht diese somit zu normierten Räumen (im Falle von zu einem halbnormierten Raum).
Sie ist nach Hermann Minkowski benannt, der die Ungleichung für unendliche Summen erstmals 1896 im ersten Band seiner Geometrie der Zahlen zeigte.[1]
Sei und der entsprechende Lp-Raum. Es sei die entsprechende -Norm. Für ein ist also
Hierbei bezeichnet das wesentliche Supremum. Die Minkowski-Ungleichung besagt dann:[2]
Die Ungleichung gilt auch in (siehe Lp-Raum#Definition). Die -(Halb-)Norm wird identisch wie die -Norm definiert, aber mit bezeichnet. Die Minkowski-Ungleichung besagt dann:[3]
Die Minkowski-Ungleichung lässt sich auch etwas allgemeiner für messbare Funktionen formulieren. Mit den Vereinbarungen für definiert man
wobei eine messbare Funktion von dem Maßraum nach ist. Hierbei ist oder . Dann lautet die Minkowski-Ungleichung:[1]
Die Minkowski-Ungleichung gilt auch für Folgen in oder in , unabhängig davon, ob die Folgen konvergieren. Sie lautet dann
für .[1]
Beschränkt man sich auf den passenden Folgenraum mit der Norm
so lautet die Minkowski-Ungleichung
für Folgen aus . Dies kann als Sonderfall der Ungleichung für den angesehen werden, wenn man als Grundmenge die natürlichen Zahlen wählt und als Maß das Zählmaß.
Die Minkowski-Ungleichung ist für und trivial. Es sei daher . Da eine konvexe Funktion ist, gilt
und daher .
Sei im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit . Es gilt:
Sei . Dann ist q der zu p konjugierte Hölder-Exponent, es gilt:
Nach der Hölder-Ungleichung gilt:
Dies impliziert die Minkowski-Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit .
Seien und zwei Maßräume und eine messbare Funktion, dann gilt (Minkowski-Ungleichung für Integrale):
für . Ist und beide Seiten endlich, so gilt Gleichheit genau dann, wenn sich als Produkt zweier messbarer Funktionen und schreiben lässt.
Wählen wir als die zwei-elementige Menge mit dem zählenden Maß, so erhalten wir als Spezialfall wieder die übliche Minkowski-Ungleichung, mit für ist nämlich
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