Wiener-Chaos-Zerlegung
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Die Wiener-Chaos-Zerlegung bezeichnet in der Stochastik die orthogonale Zerlegung des L2-Raumes eines gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum. Sie spielt eine wichtige Rolle im Malliavin-Kalkül. Die orthogonalen Räume der Hilbert-Summe sind Eigenräume eines Differentialoperators und werden Wiener-Chaos genannt.
Die Wiener-Chaos-Zerlegung trägt den Namen Norbert Wieners, welcher 1938 eine solche Zerlegung für den L2-Raum
fand, wobei der klassische Wiener-Raum ist.[1] Im Falle eines gaußschen Raumes spielen verallgemeinerte hermitesche Polynome eine zentrale Rolle, welche eine Orthogonalbasis bilden. Solche Zerlegungen lassen sich aber auch für allgemeinere Räume und Maße konstruieren und man spricht dann von polynomialen Chaos. Wiener selbst nannte seine Zerlegung homogenes Chaos.
Itō Kiyoshi zeigte 1951, dass die Elemente des Wiener-Chaos als multiple stochastische Integrale interpretiert werden können, man spricht in diesem Fall von der Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung.[2]