Additives Funktional

In der Stochastik ist ein additives Funktional (AF) ein stochastischer Prozess, der sich von einem anderen stochastischen Prozess (üblicherweise ein Markow-Prozess bzw. Feller-Prozess) ableitet und eine bestimmte additive Eigenschaft erfüllt. Wenn der Prozess stetig ist, dann wird das stetige additive Funktional oft mit CAF abgekürzt.^[1]

Additives Funktional

Sei ${\displaystyle X}$ ein kanonischer Feller-Prozess mit Zustandsraum ${\displaystyle S}$ und assoziierter Endzeit ${\displaystyle \zeta }$. Weiter sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine Filtration und ${\displaystyle \theta _{t}}$ ein Shift-Operator, d. h. ${\displaystyle \theta _{t}(Y_{s})=Y_{t+s}}$ für einen beliebigen Prozess ${\displaystyle Y=(Y_{t})_{t\geq 0}}$.

Ein additives Funktional von ${\displaystyle X}$ ist ein nicht-absteigender und ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-adaptierter Prozess ${\displaystyle F=(F_{t})_{t\geq 0}}$, so dass ${\displaystyle F_{0}=0}$ und ${\displaystyle F_{\zeta \vee t}:=F_{\zeta }}$ sowie die additive Eigenschaft

${\displaystyle F_{s+t}=F_{s}+F_{t}\circ \theta _{s},\quad {\text{f.s.}},\quad s,t\geq 0}$

erfüllt ist.

Erläuterungen

Die letzte Bedingung sollte man als

${\displaystyle F_{s+t}(X_{u},u\geq 0)=F_{s}(X_{u},u\geq 0)+F_{t}(X_{s+u},u\geq 0),\quad {\text{f.s.}},\quad s,t\geq 0}$

interpretieren.

Man kann ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle X}$ auch allgemeiner definieren, so dass nur die additive Eigenschaft erfüllt ist.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle f}$ eine einfache, messbare Funktion auf ${\displaystyle S}$, dann wird der Prozess

${\displaystyle F_{t}:=\int _{0}^{t}f(X_{s})\mathrm {d} s,\quad t\geq 0,}$

elementares additives Funktional genannt.

• Sei ${\displaystyle f}$ wie oben und ${\displaystyle F_{t}}$ ein stetiges additives Funktional, dann ist das stochastische Integral

${\displaystyle G_{t}:=(f\cdot F)_{t}=\int _{s\leq t}f(X_{s})\mathrm {d} F_{s},\quad t\geq 0,}$

ein weiteres additives Funktional

• Die Lokalzeit eines Prozesses ist ein weiteres Beispiel.

Potential eines additiven Funktionals

Für ein stetiges additives Funktional ${\displaystyle F}$ und eine Konstante ${\displaystyle \alpha }$ definieren wir das ${\displaystyle \alpha }$-Potential als

${\displaystyle U_{F}^{\alpha }(x)=E_{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}\mathrm {d} F_{t}\right],\quad x\in S}$

sowie für eine Funktion ${\displaystyle f}$

${\displaystyle U_{F}^{\alpha }f:=U_{f\cdot F}^{\alpha }.}$

Literatur

• Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 661–685, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.
• Evgeny B. Dynkin: Transformations of Markov Processes Connected with Additive Functionals. In: Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob. 1961, S. 117–142 (projecteuclid.org).