Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ und ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ zwischen Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.^[1]

Definition

Zwei Funktoren ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ und ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ zwischen Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ bilden ein adjungiertes Funktorpaar, wenn die Funktoren

${\displaystyle (X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(X,FY)}$

und

In diesem Diagramm ist ${\displaystyle G}$ linksadjungiert zu ${\displaystyle F}$.

${\displaystyle (X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(GX,Y)}$

von ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}}$ in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Zusammen mit den beiden Kategorien und den beiden Funktoren bildet die natürliche Äquivalenz eine Adjunktion.)

${\displaystyle F}$ heißt rechtsadjungiert zu ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle G}$ heißt linksadjungiert zu ${\displaystyle F}$.^[2][3] Man schreibt dies kurz als ${\displaystyle G\dashv F}$ oder ${\displaystyle F\vdash G}$, das Turnstile-Symbol zeigt auf den linksadjungierten Funktor. In Diagrammen wird dieses Symbol ebenfalls zur Kennzeichnung einer Adjunktionsbeziehung verwendet.

Einheit und Koeinheit der Adjunktion

Ist ${\displaystyle t}$ die natürliche Äquivalenz ${\displaystyle \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(\cdot _{1},F(\cdot _{2}))\to \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(G(\cdot _{1}),\cdot _{2})}$, so heißen die natürlichen Transformationen

${\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {D}}\to FG}$

${\displaystyle X\mapsto t_{(X,GX)}^{-1}(\operatorname {id} _{GX})}$

und

${\displaystyle \varepsilon \colon GF\to \operatorname {id} _{\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Y\mapsto t_{(FY,Y)}(\operatorname {id} _{FY})}$

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

${\displaystyle G\rightarrow GFG\rightarrow G}$    und    ${\displaystyle F\rightarrow FGF\rightarrow F}$

jeweils die Identität ergeben. Genauer sollen folgende Diagramme kommutativ sein:

Dabei sind ${\displaystyle 1_{G}}$ und ${\displaystyle 1_{F}}$ die identischen Transformationen und die natürlichen Transformationen ${\displaystyle G\eta ,\varepsilon G,\eta F,F\varepsilon }$ sind definiert durch ${\displaystyle (G\eta )_{X}:=G(\eta _{X}),(\varepsilon G)_{X}:=\varepsilon _{G(X)},(\eta F)_{Y}:=\eta _{F(Y)},(F\varepsilon )_{Y}:=F(\varepsilon _{Y})}$ für Objekte ${\displaystyle X}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ und ${\displaystyle Y}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Wegen der Form dieser kommutativen Diagramme nennt man die Beziehungen ${\displaystyle 1_{G}=\varepsilon G\circ G\eta }$ und ${\displaystyle 1_{F}=F\varepsilon \circ \eta F}$ auch die Dreiecksgleichungen.^[4]

Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen, die diese Dreiecksgleichungen erfüllen, eine Adjunktion bestimmen, deren Einheit und Koeinheit sie sind.

Eigenschaften

• Sind ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ quasi-invers zueinander, so ist ${\displaystyle F}$ rechts- und linksadjungiert zu ${\displaystyle G}$.
• Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).
• Ist ${\displaystyle F}$ rechtsadjungiert zu ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \eta \colon \mathrm {id} _{\mathcal {D}}\to FG}$ die Einheit, und ${\displaystyle \varepsilon \colon GF\to \mathrm {id} _{\mathcal {C}}}$ die Koeinheit der Adjunktion, so ist ${\displaystyle (FG,\eta ,\mu )}$ mit ${\displaystyle \mu _{X}:=F(\varepsilon _{GX})}$ eine Monade in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

Beispiele

• Der Funktor ${\displaystyle F\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Vec} _{K}}$, der eine Menge ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle F(I)}$, den freien ${\displaystyle K}$-Vektorraum über ${\displaystyle I}$, dessen Elemente formale ${\displaystyle K}$-Linearkombinationen sind, abbildet, ist linksadjungiert zum Vergissfunktor ${\displaystyle U\colon \mathbf {Vec} _{K}\to \mathbf {Set} }$, der Vektorräumen ihre zugrundeliegende Menge zuordnet. Die ${\displaystyle I}$-Komponente der Einheit dieser Adjunktion, ${\displaystyle \eta _{I}\colon I\to U(F(I))}$, ist gerade die Familie der kanonischen Basisvektoren von ${\displaystyle F(I)}$. Die ${\displaystyle V}$-Komponente der Koeinheit, ${\displaystyle \varepsilon _{V}\colon F(U(V))\to V}$, ist die lineare Abbildung, die formale ${\displaystyle K}$-Linearkombinationen von Elementen von ${\displaystyle V}$ mit den konkreten Operationen von ${\displaystyle V}$ auswertet.
• Der Funktor „freie abelsche Gruppe über einer Menge“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
• Der Funktor „statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
• Der Funktor „statte eine Menge mit der trivialen Topologie aus“ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
• Der Funktor „disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top^* → Top.
• Der Funktor „Stone-Čech-Kompaktifizierung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer Räume.
• Der Funktor „Vervollständigung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen Räume.
• Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.
• In einer kartesisch abgeschlossenen Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist für jedes Objekt ${\displaystyle S}$ der Funktor ${\displaystyle (-)\times S\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ linksadjungiert zum Funktor ${\displaystyle (-)^{S}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$. Die sich durch diese Funktoren ergebende Monade, bei der die Objektabbildung ${\displaystyle A\mapsto (A\times S)^{S}}$ ist, ist gerade die Zustandsmonade mit Zustandsobjekt ${\displaystyle S}$.
• Fasst man Funktionen als spezielle Relationen auf, so ergibt sich ein Vergissfunktor ${\displaystyle G\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Rel} }$, mit ${\displaystyle G(X)=X}$ für Mengen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y}$ für Funktionen ${\displaystyle f\colon X\to Y}$. Der zu ${\displaystyle G}$ rechtsadjungierte Funktor ${\displaystyle F\colon \mathbf {Rel} \to \mathbf {Set} }$ ordnet Mengen ihre Potenzmenge und Relationen ${\displaystyle r\subseteq X\times Y}$ die Funktion ${\displaystyle M\mapsto \{y\mid (x,y)\in r,x\in M\}}$ zu. Die ${\displaystyle X}$-Komponente der Einheit der Adjunktion, ${\displaystyle \eta _{X}\colon X\to {\mathcal {P}}X}$, ist ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$. Die ${\displaystyle Y}$-Komponente der Koeinheit der Adjunktion, ${\displaystyle \varepsilon _{Y}\subseteq {\mathcal {P}}Y\times Y}$, ist gerade die auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}Y}$ beschränkte Elementrelation.

Literatur

• Steve Awodey: Category Theory (= Oxford Logic Guides. Band 49). Clarendon Press, Oxford 2006, ISBN 978-0-19-856861-2, 9. Kapitel.
• Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen. Springer Spektrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-47067-1, 7. Kapitel, doi:10.1007/978-3-662-47068-8.
• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8, IV. Kapitel (englisch).
• Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. Teubner, Stuttgart 1969, ISBN 3-663-12190-9, doi:10.1007/978-3-663-12190-9.
• H. Schubert: Kategorien II (= Heidelberger Taschenbuch. Band 66). Springer, Berlin 1970, ISBN 3-540-04866-9, doi:10.1007/978-3-642-95156-5.