Airy-Formel

Dieser Artikel behandelt die Formel, die die Transmission einer elektromagnetischen Welle beschreibt. Für die spezielle Funktion siehe Airy-Funktion.

Die Airy-Formel, benannt nach dem Mathematiker und Astronom George Biddell Airy, gibt den Verlauf der transmittierten Intensität elektromagnetischer Strahlung in einem Fabry-Pérot-Interferometer an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wellenlänge oder Frequenz der Strahlung zum freien Spektralbereich des Interferometers.

Die Airy-Formel gibt die Transmission eines Fabry-Pérot Interferometers (FPI) an. Für höhere Finessen ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ wird nicht-resonantes Licht besser unterdrückt. Die Linienbreite ${\displaystyle \delta }$ ist für große Finessen näherungsweise ${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\mathcal {F}}}}$ mit dem Freien Spektralbereich ${\displaystyle \Delta \nu }$.

Die Airy-Formel ergibt sich, wenn man die elektrischen Felder aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen Phasen und Amplituden richtig addiert^[1].

Herleitung

Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist proportional zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale Reflexion an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-Reflexionskoeffizienten ${\displaystyle r\neq 1}$ berücksichtigt werden. Er ist über ${\displaystyle r^{2}+t^{2}=1}$ mit dem Amplituden-Transmissionskoeffizienten ${\displaystyle t}$ verknüpft. Nach ${\displaystyle m}$ Umläufen, also ${\displaystyle 2m}$ Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor ${\displaystyle r^{2m}}$ kleiner.

Während eines Umlaufs, d. h., wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen Phasenwinkel ${\displaystyle 2\varphi }$ (also ${\displaystyle 1\varphi }$ pro zurückgelegter Resonatorlänge ${\displaystyle L}$). Diese Phase hängt ab

• vom Verhältnis der Resonatorlänge ${\displaystyle L}$ zur Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ des Lichts sowie
• vom Brechungsindex ${\displaystyle n}$ des Mediums zwischen den Endspiegeln.

Dies lässt sich auch ausdrücken als Verhältnis der Lichtfrequenz ${\displaystyle \nu }$ zum freien Spektralbereich ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSB}}={\frac {c}{2nL}}}$ (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers mit dem Betrag des Wellenvektors^[2] ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$:

${\displaystyle \varphi =nkL=n{\frac {2\pi L}{\lambda }}=\pi {\frac {\nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}}$

Die elektrische Feldstärke ${\displaystyle E}$ im Innern des Resonators ist

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{\mathrm {i} }t\left(1+\sum _{m=1}^{m=\infty }r^{2m}\exp \left(2im\varphi \right)\right)\\&=E_{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{1-r^{2}\exp \left(2i\varphi \right)}}\end{aligned}}}$

mit der Feldstärke ${\displaystyle E_{i}}$ des einfallenden Lichts.

In der obigen Rechnung wurde nach einer Indexverschiebung die geometrische Reihe ausgewertet^[3].

Die einzelnen Beiträge der transmittierten Teilwellen addieren sich nach der Passage durch den Ausgangsspiegel zur resultierenden Feldamplitude ${\displaystyle E_{\mathrm {t} }}$:^[4]

${\displaystyle E_{\mathrm {t} }=t\cdot E={\sqrt {1-r^{2}}}\cdot E=E_{\mathrm {i} }{\frac {1-r^{2}}{1-r^{2}\exp \left(2i\varphi \right)}}}$

Das Betragsquadrat dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen trigonometrischen Identitäten die Airy-Formel^[5]:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {t} }&=E_{\mathrm {t} }\cdot E_{\mathrm {t} }^{*}={\frac {I_{\mathrm {i} }}{1+\left({\frac {2{\sqrt {R}}}{1-R}}\right)^{2}\sin ^{2}(\varphi )}}\\&\Rightarrow {\text{Airy-Formel: }}\quad {\frac {I_{\mathrm {t} }}{I_{\mathrm {i} }}}={\frac {1}{1+\left({\frac {2{\mathcal {F}}}{\pi }}\right)^{2}\sin ^{2}(\varphi )}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}(\varphi )}}\end{aligned}}}$

In dieser Intensitätsdarstellung werden verwendet:

• der Reflexionskoeffizient ${\displaystyle R=r^{2}}$
• der Transmissionskoeffizient ${\displaystyle T=t^{2}}$
• die Finesse ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\pi {\sqrt {R}}}{1-R}}}$.
• der Finesse-Koeffizient ${\displaystyle F=\left({\frac {2{\sqrt {R}}}{1-R}}\right)^{2}={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}=\left({\frac {2{\mathcal {F}}}{\pi }}\right)^{2}}$

Siehe auch

• Fresnelsche Formeln