Anosov-Fluss

In der Mathematik sind Anosov-Flüsse, benannt nach Dmitri Wiktorowitsch Anossow, ein gut verstandenes Beispiel chaotischer Dynamik. Sie zeigen einerseits alle typischen Effekte chaotischen Verhaltens, sind andererseits aber einer mathematischen Behandlung gut zugänglich.

Definition

Ein Fluss ${\displaystyle \phi ^{t}}$ auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ heißt Anosov-Fluss, wenn es eine stetige, ${\displaystyle \phi ^{t}}$-invariante Zerlegung

${\displaystyle TM=E^{c}\oplus E^{s}\oplus E^{u}}$

des Tangentialbündels ${\displaystyle TM}$ gibt, so dass ${\displaystyle E^{c}}$ tangential zur Flussrichtung ist und ${\displaystyle E^{s}}$ bzw. ${\displaystyle E^{u}}$ durch ${\displaystyle D\phi ^{t}}$ gleichmäßig kontrahiert bzw. expandiert werden, d. h., es gibt ${\displaystyle C\geq 1,\lambda >0}$ mit

${\displaystyle \parallel D\phi ^{t}(v^{s})\parallel \leq Ce^{-\lambda t}\parallel v^{s}\parallel \ \forall v^{s}\in E^{s},t>0}$

${\displaystyle \parallel D\phi ^{t}(v^{u})\parallel \geq {\frac {1}{C}}e^{\lambda t}\parallel v^{u}\parallel \ \forall v^{u}\in E^{u},t>0}$.

Die Unterbündel ${\displaystyle E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{u}}$ heißen stabiles und instabiles Bündel, die direkten Summen ${\displaystyle E^{ss}:=E^{c}\oplus E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{uu}:=E^{c}\oplus E^{u}}$ heißen schwach stabiles bzw. schwach instabiles Bündel.

Differenzierbarkeit der Distributionen

Im Allgemeinen sind die Distributionen ${\displaystyle E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{u}}$ nur stetig und nicht notwendig differenzierbar. Benoist-Foulon-Labourie haben bewiesen, dass das stabile und instabile Bündel eines Anosov-Flusses auf einer kompakten Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung nur dann ${\displaystyle C^{\infty }}$-Bündel sind, wenn es sich (bis auf ${\displaystyle C^{\infty }}$-Reparametrisierung) um den geodätischen Fluss eines lokal symmetrischen Raumes handelt.^[1]

Integralmannigfaltigkeiten

Die Unterbündel ${\displaystyle E^{c}\oplus E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{c}\oplus E^{u}}$ sind integrierbar^[2], ihre Integralmannigfaltigkeiten heißen schwach stabile bzw. schwach instabile Mannigfaltigkeit. Die schwach stabilen bzw. schwach instabilen Mannigfaltigkeiten eines Anosov-Flusses bilden jeweils eine straffe Blätterung.

Analog werden die Integralmannigfaltigkeiten von ${\displaystyle E^{s}}$ bzw. ${\displaystyle E^{u}}$ als stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Beispiele

• Der geodätische Fluss (auf dem Einheitstangentialbündel) einer Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist ein Anosov-Fluss, seine stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit sind Einheitstangentialbündel von Horosphären.^[3]
• Der Suspensionsfluss eines Anosov-Diffeomorphismus, zum Beispiel eines hyperbolischen Automorphismus des Torus, ist ein Anosov-Fluss.

Eigenschaften

• Periodische Orbiten liegen dicht.^[4]
• Ein maß-erhaltender Anosov-Fluss ist ergodisch.

Literatur

Stephen Smale: Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc. 73 1967 747–817 pdf