Approximationssatz von Carleman

Der Approximationssatz von Carleman ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher im Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist und der auf eine Arbeit des Mathematikers Torsten Carleman aus dem Jahr 1927 zurückgeht. Er kann als Verallgemeinerung des klassischen Approximationssatzes von Weierstraß angesehen werden, wobei im Unterschied zum weierstraßschen der carlemansche Approximationssatz die Approximation von gewissen stetigen Funktionen durch ganze Funktionen statt der durch Polynomfunktionen thematisiert. Er ist eng verwandt mit dem rungeschen Approximationssatz, auf den Carleman in seinem Originalbeweis zurückgriff. Im Jahre 1955 zeigte Wilfred Kaplan, dass durch Rückgriff auf den Satz von Mergelyan ein erheblich einfacherer Beweis besteht. Der Approximationssatz von Carleman zog eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen nach sich.^[1][2]

Formulierung des Approximationssatzes

Er lässt sich angeben wie folgt:^[3][4]

Auf der reellen Zahlengerade ${\displaystyle \mathbb {R} }$ seien zwei beliebige stetige Funktionen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \epsilon \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{>0}}$ gegeben.

Dann existiert auf der komplexen Zahlenebene ${\displaystyle \mathbb {C} }$ stets eine holomorphe Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ derart, dass für jedes ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ stets die Ungleichung

${\displaystyle |f(x)-g(x)|<\epsilon (x)}$^{[A 1]}

erfüllt ist.

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser Verlag, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3.
• Torsten Carleman: Sur un théorème de Weierstrass. In: Arkiv för matematik, astronomi och fysik. 20B, No.4, 1927.
• Stephen J. Gardiner: Harmonic Approximation (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Band 221). Cambridge University Press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-49799-X (MR0070753 ).
• Lothar Hoischen: Eine Verschärfung eines Approximationssatzes von Carleman. In: Journal of Approximation Theory. Band 9, 1973, S. 272–277 (MR0367217).
• Wilfred Kaplan: Approximation by entire functions. In: Michigan Mathematical Journal. Band 3, 1955, S. 43–52 (MR0070753).
• Stephen Scheinberg: Uniform approximation by entire functions. In: Journal d'Analyse Mathématique. Band 29, 1976, S. 16–18 (MR0508100).