Astroide

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ durch die Parametergleichungen^[1]

${\displaystyle x=a(\cos t)^{3}\ }$

${\displaystyle y=a(\sin t)^{3}\ }$

Animation der Astroide

Animation Astroide als Hüllkurve

Astroide als Hüllkurve einer Familie von Ellipsen, bei denen a + b = const.

oder durch die implizite Gleichung

${\displaystyle x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=a^{\frac {2}{3}}\,}$^[1],  welche äquivalent zu   ${\displaystyle \quad (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0}$ ist,

beschreiben lässt. ${\displaystyle a}$ ist dabei eine feste positive, reelle Zahl. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}a}$ beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius ${\displaystyle a}$ abrollt. Sie ist also eine spezielle Hypozykloide.

Für ihren Flächeninhalt ${\displaystyle A}$ gilt^[1]

${\displaystyle A={\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$.

Die Länge ${\displaystyle \ell }$ der gesamten Kurve beträgt ${\displaystyle \ell =6a}$.^[1] Innerhalb eines Kurvenviertels ${\displaystyle 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$ gilt für die Bogenlänge

${\displaystyle s(t)={\frac {3}{2}}a\sin ^{2}(t)}$

und für den Krümmungsradius

${\displaystyle \rho (t)={\frac {3}{2}}a\sin(2t)}$.

Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.

Schwerpunkt

Schwerpunkte der Astroiden
	Intervall	${\displaystyle x_{\mathrm {S} }}$	${\displaystyle y_{\mathrm {S} }}$
Ebenes Kurvenstück	0 ≤ t ≤ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}a}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}a}$
	0 ≤ t ≤ ${\displaystyle \pi }$	0	${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}a}$
Ebene Figur	0 ≤ t ≤ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {256}{315\pi }}a}$	${\displaystyle {\tfrac {256}{315\pi }}a}$
	0 ≤ t ≤ ${\displaystyle \pi }$	0	${\displaystyle {\tfrac {256}{315\pi }}a}$
Drehkörper*	0 ≤ t ≤ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {21}{128}}a}$	0

*Bei Rotation um die X-Achse ${\displaystyle (z_{S}=0)}$

Schiefe Astroide

Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

${\displaystyle x=a(\cos t)^{3}\ }$

${\displaystyle y=b(\sin t)^{3}\ }$

oder durch die implizite Gleichung

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{\frac {2}{3}}=1}$

beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

Siehe auch

• orthoptische Kurve einer Astroide