Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ

Als asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ werden asymptotische Resultate für orthogonale Polynome bezeichnet. Sie sind nach den Schweizer Mathematikern Michel Plancherel und seinem PhD-Studenten Walter Rotach benannt, welche sie zuerst für das Hermitesche Polynom hergeleitet hatten. Man nennt asymptotische Entwicklungen dieser Form für orthogonale Polynome vom Plancherel-Rotach-Typ.

Der Fall für das zugeordnete Laguerre-Polynom stammt von dem Schweizer Mathematiker Egon Möcklin, der unter Plancherel und George Pólya an der ETH Zürich promovierte.^[1]

Die hier aufgelisteten asymptotischen Entwicklungen stammen aus der Standardreferenz für orthogonale Polynome von Gábor Szegő.^[2]

Hermitesche Polynome

Seien ${\displaystyle \epsilon }$ und ${\displaystyle \omega }$ positiv und fix, dann gilt

• für ${\displaystyle x=(2n+1)^{1/2}\cos \varphi }$ und ${\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq \pi -\epsilon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=2^{n/2+1/4}(n!)^{1/2}(\pi n)^{-1/4}&(\sin \varphi )^{-1/2}\\\cdot &{\bigg \{}\sin \left[\left({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{4}}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(n^{-1}){\bigg \}}\end{aligned}}}$

• für ${\displaystyle x=(2n+1)^{1/2}\cosh \varphi }$ und ${\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=2^{n/2-3/4}(n!)^{1/2}(\pi n)^{-1/4}&(\sinh \varphi )^{-1/2}\\\cdot &\exp \left[\left({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{4}}\right)(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]{\big \{}1+{\mathcal {O}}(n^{-1}){\big \}}\end{aligned}}}$

• für ${\displaystyle x=(2n+1)^{1/2}-2^{-1/2}3^{-1/3}n^{-1/6}t}$, ${\displaystyle t}$ komplex und beschränkt

${\displaystyle e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=3^{1/3}\pi ^{-3/4}2^{n/2+1/4}(n!)^{1/2}n^{-1/12}{\bigg \{}A(t)+{\mathcal {O}}\left(n^{-{2/3}}\right){\bigg \}}}$

wobei ${\displaystyle A(t)=\pi \operatorname {Ai} (-3^{-1/3}t)}$ und ${\displaystyle \operatorname {Ai} }$ die Airy-Funktion bezeichnet.

Laguerre-Polynome

Sei ${\displaystyle \alpha }$ beliebig und reell, ${\displaystyle \epsilon }$ und ${\displaystyle \omega }$ positiv und fix, dann gilt

• für ${\displaystyle x=(4n+2\alpha +2)\cos ^{2}\varphi }$ und ${\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq {\tfrac {\pi }{2}}-\epsilon n^{-1/2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}(\pi \sin \varphi )^{-1/2}&x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}\\&\cdot {\big \{}\sin \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3\pi /4\right]+(nx)^{-1/2}{\mathcal {O}}(1){\big \}}\end{aligned}}}$

• für ${\displaystyle x=(4n+2\alpha +2)\cosh ^{2}\varphi }$ und ${\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n}(\pi \sinh \varphi )^{-1/2}&x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}\\&\cdot \exp \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]\{1+{\mathcal {O}}\left(n^{-1}\right)\}\end{aligned}}}$

• für ${\displaystyle x=4n+2\alpha +2-2(2n/3)^{1/3}t}$ sowie ${\displaystyle t}$ komplex und beschränkt

${\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}\pi ^{-1}2^{-\alpha -1/3}3^{1/3}n^{-1/3}{\bigg \{}A(t)+{\mathcal {O}}\left(n^{-2/3}\right){\bigg \}}}$

wobei ${\displaystyle A(t)=\pi \operatorname {Ai} (-3^{-1/3}t)}$ und ${\displaystyle \operatorname {Ai} }$ die Airy-Funktion bezeichnet.