Bellard-Formel

Die Bellard-Formel ist eine Reihe, die verwendet werden kann, um die ersten ${\displaystyle p}$ Ziffern der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ im Hexadezimalsystem zu berechnen.

Fabrice Bellard veröffentlichte 1997 als Erster einen Artikel über die Formel.^[1] Sie ist circa 1,43 mal so schnell wie die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel.^[2]

Eine wichtige Anwendung der Formel ist die Verifizierung der Berechnungen aller ersten Stellen von ${\displaystyle \pi }$ mittels anderer Methoden. Somit müssen nicht alle Stellen von zwei verschiedenen Algorithmen berechnet werden, da es reicht, die letzten Stellen einer "vollständigen" Berechnung durch die Bellard-Formel zu überprüfen.^[3]

Die Formel

Die Formel lautet:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\,\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}\right.&{}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}\left.{}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right).\end{aligned}}}$

Um die ersten ${\displaystyle p}$ Hexadezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ zu berechnen, genügt es, eine Partialsumme auszurechnen, die von der Reihe um höchstens ${\displaystyle 16^{-p}}$ abweicht.

Weblinks

• Fabrice Bellard's PI page
• PiHex web site
• David Bailey, Peter Borwein, and Simon Plouffe's BBP formula (On the rapid computation of various polylogarithmic constants) (PDF)