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Binomischer Lehrsatz

Satz der Mathematik Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

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Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen

als Polynom -ten Grades in den Variablen und auszudrücken. Die Bezeichnung rührt vom Ausdruck Binom, welches hier ist.

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Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Zusammenfassung
Kontext

Für alle Elemente und eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen gilt

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen und (mit der Konvention ).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit ist hierbei die Fakultät von bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl an das Ringelement aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als -Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen

  • Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente und in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h. gilt.
  • Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:
.

Beweis

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden.[1] Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis.[2] Für jedes konkrete kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiele

Thumb
Geometrische Darstellung des binomischer Lehrsatzes für die ersten 4 Potenzen
, wobei die imaginäre Einheit ist.
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Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lässt sich mithilfe der verallgemeinerten Binomialkoeffizienten kompakt schreiben als

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle mit und .

Im Spezialfall geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle gültig, da die Reihe dann abbricht.

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Anwendungen

Zusammenfassung
Kontext

Mehrwinkelformeln

Für die komplexen Zahlen kann der binomische Lehrsatz mit dem Moivreschen Satz kombiniert werden, um Mehrwinkelformeln für Sinus und Kosinus zu erhalten. Nach dem Moivreschen Satz gilt:

Mit dem binomischen Lehrsatz kann der Ausdruck auf der rechten Seite erweitert werden. Anschließend können der Realteil und der Imaginärteil verwendet werden, um die Formeln für und zu erhalten. Beispielsweise gilt

De Moivres Formel identifiziert die linke Seite jedoch mit , also gilt

Dies sind die Doppelwinkelfunktionen.

Allgemein gilt

Reihenentwicklung für e

Die Zahl wird oft als folgender Grenzwert definiert

Wendet man den binomischen Lehrsatz auf diesen Ausdruck an, erhält man die übliche unendliche Reihe für :

Der -te Ausdruck dieser Summe ist

Für gegen unendlich nähert sich der rationale Ausdruck auf der rechten Seite 1, und daher gilt

Dies zeigt, dass als Reihe geschrieben werden kann:

Da jeder Ausdruck der Binomialentwicklung eine monoton wachsende Funktion von ist, folgt aus dem Satz der monotonen Konvergenz für Reihen, dass die Summe dieser unendlichen Reihe gleich ist.

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Trivia

Gelegentlich wird als wissenschaftlicher Witz die Entdeckung oder Erfindung des binomischen Lehrsatzes einem Herrn Binomi zugeschrieben.[3]

Literatur

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Einzelnachweise

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