Chudnovsky-Algorithmus

Der Chudnovsky-Algorithmus ist eine von den Chudnovsky-Brüdern im Jahre 1988^[1] entwickelte iterative Methode zur Berechnung beliebig vieler Nachkommastellen der Kreiszahl π. Jede Iteration liefert durchschnittlich 14,82 weitere Dezimalstellen.^[2] Der Algorithmus basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.\!}$

Dieser Algorithmus wurde seitdem für die meisten Weltrekordberechnungen eingesetzt, siehe Rekorde der Berechnung von π.

Entwicklung

Heegner-Punkte können dabei helfen, sehr schnell konvergente Reihen zu finden, die gegen die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ konvergieren. Vorläufer solcher Reihentypen waren schon von Srinivasa Ramanujan zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckt worden. Die Brüder David und Gregory Chudnovsky nutzten schließlich die Punkte ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {n}}}{2}}}$ mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$, um die Arbeiten von Ramanujan weiterzuführen. Dabei fanden sie eine für die j-Funktion ${\displaystyle j(\tau ):=1728J(\tau )}$ und all diese Heegner-Punkte gültige Reihenidentität

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{6}}(1-s_{2}(\tau ))+k\right){\frac {(6k)!}{(3k)!(k!)^{3}}}{\frac {1}{j(\tau )^{k}}}={\frac {\sqrt {-J(\tau )}}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {n(1-J(\tau ))}}},}$

die den durch Eisensteinreihen definierten Term

${\displaystyle s_{2}(\tau )={\frac {E_{4}(\tau )}{E_{6}(\tau )}}\left(E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi \mathrm {Im} (\tau )}}\right)}$

beinhaltet.^[4] Dabei bezeichnet ${\displaystyle k!}$ die Fakultät von ${\displaystyle k}$. Daraus konnte nach Einsetzen des Heegner-Punkts ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}}$ der Chudnovsky-Algorithmus entwickelt werden, mit Hilfe dessen die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ extrem schnell auf viele Nachkommastellen berechnet werden kann. Er nutzt aus, dass der Wert ${\displaystyle j\left({\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}\right)}$ ganzzahlig ist. Über die Methoden, wie man ${\displaystyle j(\tau )}$ allgemein berechnet, kann man bereits diese und weitere Kuriositäten beobachten. Man weiß wegen der Fourier-Entwicklung ${\displaystyle j(\tau )=e^{-2\pi i\tau }+744+196\,884e^{2\pi i\tau }+\dotsb }$, dass für Werte ${\displaystyle \tau }$ mit größerem Imaginärteil die Zahl ${\displaystyle j(\tau )}$ bereits sehr nahe an ${\displaystyle e^{-2\pi i\tau }+744}$ liegt. In der Tat findet man^[5]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743{,}\,999\,999\,999\,999\,250\ldots .}$

Ein ausführlicher Beweis dieser Formel findet sich hier:^[6]

Diese ist ähnlich der Ramanujan-Formel zur Ermittlung von π^[3] und ist ein Beispiel der Ramanujan-Sato-Reihen.