Crofton-Formel

Die Crofton-Formel^[1] (auch Cauchy-Crofton-Formel) ist in der Integralgeometrie eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge einer Kurve und ist nach Morgan Crofton benannt.

Definition

Die durch ${\displaystyle \varphi ,p}$ definierte Gerade schneidet ${\displaystyle \gamma }$ zweimal, d. h. ${\displaystyle n_{\gamma }(\varphi ,p)=2}$.

Die Crofton-Formel drückt die Bogenlänge ${\displaystyle s(\gamma )}$ einer ebenen Kurve ${\displaystyle \gamma }$ durch ein Integral über die Zahl der Schnittpunkte ${\displaystyle n_{\gamma }}$ mit einer Geraden aus; deren Abstand vom Ursprung sei ${\displaystyle p}$ (Länge des Lots vom Ursprung auf die Gerade) und der Winkel des Lots mit der x-Achse sei ${\displaystyle \varphi }$ (siehe Hessesche Normalform der Geradengleichung). Dann ist ${\displaystyle dpd\varphi }$ ein kinematisch invariantes Maß (invariant unter Drehungen und Translationen der euklidischen Ebene). ${\displaystyle n_{\gamma }}$ sei die Anzahl der Schnittpunkte der durch ${\displaystyle p,\varphi }$ parametrisierten Geraden mit der Kurve. Croftons Formel für die Bogenlänge lautet dann:

${\displaystyle s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int \int n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp}$

Schätzung

Anwendung der Crofton-Formel mit zufälligen Linien

Für eine Schätzung der der Bogenlänge kann eine Monte-Carlo-Simulation benutzt werden: Dabei seien die Zufallsvariablen ${\displaystyle \varphi ,p}$ gleichverteilt im Volumen ${\displaystyle V=2\pi h}$. ${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {1}{V}}}$ sei somit die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Gleichverteilung. Wegen ${\displaystyle s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{-h/2}^{h/2}n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp\underbrace {\frac {V}{V}} _{1}={\frac {V}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{-h/2}^{h/2}n_{\gamma }(\varphi ,p){\tilde {p}}(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp={\frac {V}{2}}E_{(\varphi ,p)\sim {\tilde {p}}}[n_{\gamma }(\varphi ,p)]}$ gilt daher nach dem Gesetz der großen Zahlen

${\displaystyle {\hat {s}}(\gamma )={\frac {V}{2N}}\sum _{i=1}^{N}n_{\gamma }(\varphi _{i},p_{i}),}$

wobei ${\displaystyle N}$ die Zahl der gezogenen Stichproben ${\displaystyle (\varphi _{i},p_{i})}$ aus dem Volumen ${\displaystyle V}$ sind.

Beispiel

Gerade entlang der x-Achse

Für festes ${\displaystyle \varphi }$ schneiden nur die Geraden im blauen Bereich die Strecke ${\displaystyle [-{\tfrac {L}{2}},+{\tfrac {L}{2}}]}$, d. h. es muss ${\displaystyle 0\leq p\leq |{\cos(\varphi )}|{\tfrac {L}{2}}}$ sein.

Die Formel kann plausibel gemacht werden,^[2] wenn man als Beispiel für ${\displaystyle \gamma }$ eine Linie der Länge ${\displaystyle L}$ auf der x-Achse betrachtet, mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Croftons Formel ergibt dann:

${\displaystyle s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{|{\cos(\varphi )}|{\frac {L}{2}}}n_{\gamma }(\varphi ,p)\;dp\;d\varphi \ ={\frac {L}{4}}\int _{0}^{2\pi }|{\cos(\varphi )}|d\varphi ={\frac {L}{4}}4=L}$.

Das kann man mittels Approximation durch gerade Linien auf eine beliebige Kurve übertragen.

Einheitskreisline

Ein weiteres einfaches Beispiel ist die Einheitskreislinie ${\displaystyle \gamma }$. Zu jedem ${\displaystyle \varphi \in [0,2\pi ]}$ schneidet die Gerade mit Abstand ${\displaystyle p}$ die Kreislinie genau für ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ und zwar zweimal für ${\displaystyle 0\leq p<1}$. Daher ist

${\displaystyle s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}n_{\gamma }(\varphi ,p)\;dp\;d\varphi \ ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}2\;dp\;d\varphi \ ={\frac {1}{2}}\cdot 2\cdot 2\pi =2\pi }$,

was, wie erwartet, der bekannte Kreisumfang ist.