Dedekindsche Psi-Funktion

Die Dedekindsche ψ-Funktion ist eine von mehreren nach Richard Dedekind benannten zahlentheoretischen Funktionen. Es handelt sich um eine multiplikative Funktion, sie ist durch

${\displaystyle \forall \ n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \psi (n)=n\cdot \prod _{p|n \atop p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

definiert. Das Produkt erstreckt sich über alle Primteiler von ${\displaystyle n.}$

Werte

Nach Definition des leeren Produkts ist

${\displaystyle \psi (1)=1.}$

Für die nächsten beiden natürlichen Zahlen ergibt sich:

${\displaystyle \psi (2)=2\left(1+{\frac {1}{2}}\right)=3}$

${\displaystyle \psi (3)=3\left(1+{\frac {1}{3}}\right)=4}$

Die Folge der Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ….^[1]

Eigenschaften

• Die ${\displaystyle \psi }$-Funktion nimmt nur positive natürliche Zahlen als Werte an. Für alle hinreichend großen ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle \psi (n)}$ größer als ${\displaystyle n}$ und gerade:

${\displaystyle \psi (n)>n\qquad \qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} \,n>1}$

${\displaystyle \psi (n)\equiv 0\mod 2\;\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} \,n>2}$

• Für Primzahlen ${\displaystyle p}$ gilt:

${\displaystyle \psi (p)=p+1=\varphi (p)+2}$

Dabei ist ${\displaystyle \varphi }$ die Eulersche Phi-Funktion, die für jede positive natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ die Anzahl ${\displaystyle \varphi (n)}$ der zu ${\displaystyle n}$ teilerfremden natürlichen Zahlen angibt, die nicht größer als ${\displaystyle n}$ sind.

• Die ${\displaystyle \psi }$-Funktion kann auch durch

${\displaystyle \psi (p^{k})=(p+1)\cdot p^{k-1}}$

für Potenzen von Primzahlen ${\displaystyle p}$ mit positiven natürlichen Hochzahlen ${\displaystyle k}$ und der Festlegung, dass ${\displaystyle \psi }$ multiplikativ ist, charakterisiert werden. Der Wert ${\displaystyle \psi (n)}$ für ein beliebiges ${\displaystyle n}$ ergibt sich dann aus der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle n.}$

• Mit der Riemannschen Zeta-Funktion ${\displaystyle \zeta }$ gilt:

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}}$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dedekind Function. In: MathWorld (englisch).
• J. Chidambaraswamy: Generalized Dedekind psi functions with respect to a polynomial. II. In: Pacific J. Math. Vol. 65, Nr. 1(1976), S. 19–27.