Diskriminante (Modulform)

Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,z>0\}}$ holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

Definition

Für ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ sei ${\displaystyle \Delta (z):=g_{2}^{3}(z)-27g_{3}^{2}(z)}$,

dabei sind ${\displaystyle g_{2}(z)=60G_{4}(z)}$ und ${\displaystyle g_{3}(z)=140G_{6}(z)}$ die Eisensteinreihen zum Gitter ${\displaystyle \mathbb {Z} z+\mathbb {Z} }$.

Produktentwicklung

Die Diskriminante ${\displaystyle \Delta }$ lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

${\displaystyle \Delta (z)=(2\pi )^{12}e^{2\pi iz}\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2\pi inz})^{24}}$

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass ${\displaystyle \Delta }$ in ${\displaystyle \mathbb {H} }$ keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante ${\displaystyle \Delta }$ ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist ${\displaystyle \Delta (z)=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(z)}$.

Transformationsverhalten

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d. h. unter den Substitutionen von

${\displaystyle \Gamma$ :=SL_{2}(\mathbb {Z} )=\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\}} gilt:

${\displaystyle \Delta \left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{12}\Delta (z)}$.

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei ${\displaystyle z=\infty }$ und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

Fourierentwicklung

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

${\displaystyle \Delta (z)=(2\pi )^{12}\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)\,{\mathrm {e} }^{2\pi inz}}$.

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d. h.

${\displaystyle \tau (m)\cdot \tau (n)=\tau (m\cdot n)}$ für teilerfremde ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$,

wie im Jahre 1917 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

${\displaystyle \tau (m)\tau (n)=\sum _{d\,|(m,n)}\!\!d^{11}\tau \left({\frac {mn}{d^{2}}}\right)}$.

Für die ersten Werte der tau-Funktion ${\displaystyle \tau (n)}$ gilt:^[1]

${\displaystyle \tau (1)=1}$

${\displaystyle \tau (2)=-24}$

${\displaystyle \tau (3)=252}$.

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von Derrick Henry Lehmer aufgestellte Vermutung

${\displaystyle \tau (m)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen ${\displaystyle p}$ gilt:

${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2}}$.

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die ${\displaystyle \tau (n)}$ erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\mod 691}$

mit

${\displaystyle \sigma _{11}(n)=\sum _{d\,\mid n}d^{11}}$

Literatur

• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, Berlin Heidelberg New York (1990), ISBN 3-540-97127-0
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2