Diskriminante (algebraische Zahlentheorie)

In der algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.

Definition

Sei ${\displaystyle B}$ ein Ring, ${\displaystyle A\subseteq B}$ ein Unterring derart, dass ${\displaystyle B}$ ein freier ${\displaystyle A}$-Modul vom Rang ${\displaystyle n\;(n\in \mathbb {N} )}$ ist. Für ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in B^{n}}$ heißt ${\displaystyle D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}):=\det \left(\mathrm {Tr} _{B/A}(x_{i}\cdot x_{j})_{i,j}\right)\in A}$ die Diskriminante von ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$.

Wenn ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ eine ${\displaystyle A}$-Basis von ${\displaystyle B}$ darstellt, so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in ${\displaystyle A}$ eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von ${\displaystyle D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ in ${\displaystyle A}$ erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{B/A}}$ bezeichnet und heißt Diskriminante von ${\displaystyle B}$ über ${\displaystyle A}$.

Eigenschaften und Anwendung

• Sei ${\displaystyle L/K}$ eine separable Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle n\;(n\in \mathbb {N} )}$ und ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n}}$ die ${\displaystyle n}$ verschiedenen ${\displaystyle K}$-Algebrenmonomorphismen von ${\displaystyle L}$ in den algebraischen Abschluss von ${\displaystyle K}$. Dann gilt für eine ${\displaystyle K}$-Basis ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ von ${\displaystyle L}$^[1]:

${\displaystyle D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left((\sigma _{i}(x_{j}))_{i,j}\right)^{2}\neq 0}$

• Seien ${\displaystyle K\subseteq L}$ zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen ${\displaystyle A\subseteq B}$. Dann gilt für ein Primideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq A}$ das folgende: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq B}$ ist genau dann verzweigt, wenn ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supseteq {\mathfrak {D}}_{B/A}}$ gilt^[2]. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{B/A}}$, vgl. Dedekindring).

Beispiel

Seien ${\displaystyle A:=\mathbb {Q} ,\;B:=\mathbb {Q} [X]/(X^{2}+bX+c),\quad b,c\in \mathbb {Q} }$; ${\displaystyle x}$ bezeichne die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle B}$.

Somit ${\displaystyle D_{B/A}(1,x)=\det {\begin{pmatrix}\mathrm {Tr} _{B/A}(1)&\mathrm {Tr} _{B/A}(x)\\\mathrm {Tr} _{B/A}(x)&\mathrm {Tr} _{B/A}(x^{2})\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}2&-b\\-b&b^{2}-2c\end{pmatrix}}=b^{2}-4c}$, was der Diskriminante des Polynoms ${\displaystyle X^{2}+bX+c}$ entspricht.

Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{B/A}(1)=\mathrm {Tr} _{B/A}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=2}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{B/A}(x)=\mathrm {Tr} _{B/A}{\begin{pmatrix}0&-c\\1&-b\end{pmatrix}}=-b}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{B/A}(x^{2})=\mathrm {Tr} _{B/A}(-b\cdot x-c)=-b\cdot \mathrm {Tr} _{B/A}(x)-c\cdot \mathrm {Tr} _{B/A}(1)=b^{2}-2c}$

Diskriminante eines Zahlkörpers

Sei ${\displaystyle K}$ ein Zahlkörper und ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ sein Ganzheitsring. Sei ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul, und seien ${\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}}$ die Einbettungen von ${\displaystyle K}$ in die komplexen Zahlen. Die Diskriminante von ${\displaystyle K}$ ist das Quadrat der Determinante der ${\displaystyle n\times n}$--Matrix ${\displaystyle B}$, deren ${\displaystyle (i,j)}$-Eintrag ${\displaystyle \sigma _{i}(b_{j})}$ ist:^[3]

${\displaystyle \Delta _{K}=\left(\operatorname {det} \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)\right)^{2}.}$

Siehe auch

• Diskriminante

Literatur

• Falko Lorenz: Algebraische Zahlentheorie. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1993, ISBN 3-411-16701-7.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 2006. ISBN 3-540-37547-3.