Dynamotheorie

Die Dynamotheorie beschreibt die Erzeugung und das Verhalten von Magnetfeldern in elektrisch leitfähiger Materie (Plasma). Sie ist Teil der Magnetohydrodynamik (MHD).^[2]

Vereinfachte Illustration des Geodynamo-Mechanismus der Erde: Durch den Wärmefluss aus dem inneren Kern wird das flüssige Metall im äußeren Erdkern in Bewegung gesetzt (Konvektion) und durch die Corioliskraft zu schraubenförmiger Rotation gebracht. Die Wechselwirkung des sich bewegenden leitfähigen Materials mit dem Erdmagnetfeld erzeugt elektrische Ströme (Induktion), die wiederum eigene Magnetfelder erzeugen, die das Erdmagnetfeld aufrechterhalten. Somit ist der Prozess selbsterhaltend, sofern ausreichend Energie für die Konvektion zur Verfügung steht.^[1]

Der „Dynamoeffekt“, also die Erzeugung von Magnetfeldern, hat seine Ursache in der elektromagnetischen Induktion aufgrund der Wechselwirkung zwischen Konvektion in elektrisch leitender Materie und ihrer Rotation.

Die Magnetfelder der Erde, der Sonne und weiterer astronomischer Objekte lassen sich durch die Dynamotheorie erklären. Zur besseren Unterscheidung von technischen Dynamos (elektrische Generatoren) nennt man solche Dynamos dann auch Plasmadynamos, magnetohydrodynamische oder MHD-Dynamos.

Induktionsgleichung

Die theoretische Grundlage zur Beschreibung von Dynamos bildet die Induktionsgleichung:^[3]

${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )-\eta \nabla \times \nabla \times \mathbf {B} }$

Hierbei bedeuten:

${\displaystyle \mathbf {B} }$	Magnetfeld, genauer: magnetische Induktion
${\displaystyle \mathbf {v} }$	Geschwindigkeitsfeld der Materie
${\displaystyle \eta ={1/\mu _{0}\sigma }}$	magnetische Diffusivität, wobei ${\displaystyle \mu _{0}}$ die magnetische Feldkonstante und ${\displaystyle \sigma }$ die elektrische Leitfähigkeit bedeuten.

Je höher die magnetische Reynoldszahl ${\displaystyle R_{m}=\mu _{0}\sigma VL}$, die von der Geschwindigkeit ${\displaystyle V}$ und der Länge ${\displaystyle L}$ abhängt, desto eher kann die Diffusion des Magnetfeldes (bestimmt durch ${\displaystyle -\eta \nabla \times \nabla \times \mathbf {B} }$) vernachlässigt werden. In diesem Fall werden die Magnetfelder mit der Flüssigkeit transportiert und der Plasmadynamo läuft an, indem er die Magnetfelder selbst erregt.^[4]

Die Induktionsgleichung lässt sich aus den Maxwell-Gleichungen ${\displaystyle \left({\tfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} ,\quad \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +[{\tfrac {1}{c^{2}}}{\tfrac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}]\right)}$ und dem Ohmschen Gesetz ${\displaystyle \left(\mathbf {j} =\sigma (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\right)}$ unter Vernachlässigung von ${\displaystyle {\tfrac {1}{c^{2}}}{\tfrac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\approx 0}$ im Rahmen der MHD herleiten.^[5]

Geodynamo

Die Dynamotheorie der Magnetohydrodynamik beschreibt den Geodynamo im äußeren Erdkern. In diesem erzeugen konvektive Strömungen des flüssigen Eisens das irdische Magnetfeld.

Im äußersten Kern herrscht ein heißes, leitfähiges Metall (hauptsächlich Eisen mit leichten Beimischungen). Durch die an der Kern-Mantel-Grenze bei der Kristallisation (Wachstum des inneren Kerns) freiwerdende Schmelzenergie entstehen konvektive Strömungen. Da die Erde schnell rotiert, wirken auf diese Strömungen starke Coriolis-Kräfte, die sie zu rotationssymmetrischen, säulenförmigen Wirbeln parallel zur Erdachse organisieren. Werden diese Säulen gestreckt, wird das Magnetfeld verstärkt.^[6]

Antidynamotheoreme

Antidynamotheoreme machen Aussagen über Bedingungen, unter denen kein Dynamoprozess zustande kommen kann. Sie vermitteln einen Einblick in die Funktionsweise von Dynamos, da sie die Lösungsvielfalt der Dynamogleichung einschränken, und damit aufzeigen, welche Voraussetzungen für einen funktionierenden Dynamo wesentlich sind.

Cowling-Theorem

Das Cowling-Theorem besagt, dass ein axialsymmetrisches Magnetfeld durch keinen Dynamoprozess aufrechterhalten werden kann.^[7]

Elsasser-Theorem

Das Elsasser-Theorem (auch Toroidal-Theorem) besagt, dass eine rein toroidale Strömung keinen Dynamo aufrechterhalten kann. Dies ist jedoch in einer sphärischen Geometrie nur unter der einschränkenden Bedingung der Fall, dass die elektrische Leitfähigkeit nicht winkelabhängig ist.^[8]