Endliche Von-Neumann-Algebra

Endliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um Von-Neumann-Algebren, deren Projektionen einer gewissen Endlichkeitsbedingung genügen.

Definitionen

Es sei ${\displaystyle A}$ eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$. Projektionen sind Elemente aus ${\displaystyle A}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}$. Den Arbeiten von Murray und von Neumann über die heute sogenannten Von-Neumann-Algebren lag die Idee zu Grunde, Projektionen in Analogie zu Mengen zu untersuchen. Die Äquivalenz zweier Projektionen wird in Analogie zur Gleichmächtigkeit von Mengen definiert: ${\displaystyle e_{1}}$ und ${\displaystyle e_{2}}$ heißen äquivalent, wenn es ein ${\displaystyle v\in A}$ gibt mit ${\displaystyle e_{1}=v^{*}v}$ und ${\displaystyle e_{2}=vv^{*}}$; man schreibt ${\displaystyle e_{1}\sim e_{2}}$. Der Teilmengenbeziehung entspricht die Teilmengenbeziehung der projizierten Räume, das heißt man definiert ${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}}$ als ${\displaystyle e_{1}(H)\subset e_{2}(H)}$. Da eine Menge genau dann endlich ist, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, definiert man im Sinne der hier verfolgten Analogie:

Eine Projektion ${\displaystyle e\in A}$ heißt endlich, falls ${\displaystyle e\sim e_{1}\leq e}$ nur für ${\displaystyle e=e_{1}}$ möglich ist. Man beachte, dass dieser Endlichkeitsbegriff von ${\displaystyle A}$ abhängt, da der Äquivalenzbegriff von ${\displaystyle A}$ abhängt.

Eine Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt endlich, wenn das Einselement ${\displaystyle 1=\mathrm {id} _{H}}$ als Projektion aus ${\displaystyle A}$ endlich ist.

Beispiele

• Abelsche Von-Neumann-Algebren sind endlich, denn für diese ist die Äquivalenz von Projektionen mit deren Gleichheit gleichbedeutend.
• Die endlichdimensionalen Algebren ${\displaystyle A=L(\mathbb {C} ^{n})}$ über einem endlichdimensionalen Hilbertraum sind endlich, denn äquivalente Projektionen haben gleiche Dimension.
• Die Algebra ${\displaystyle L(\ell ^{2})}$ über dem Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ist nicht endlich, denn ist ${\displaystyle s\in L(\ell ^{2})}$ der Shiftoperator, so ist ${\displaystyle 1=s^{*}s\sim ss^{*}<1}$.
• Es sei ${\displaystyle G}$ eine diskrete Gruppe. Jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ operiert als Linksoperator ${\displaystyle l_{g}}$ und als Rechtsoperator ${\displaystyle r_{g}}$ auf dem Hilbertraum ${\displaystyle \ell ^{2}(G)}$ in dem man ${\displaystyle (l_{g}(x))(h):=x(g^{-1}h)}$ und ${\displaystyle (r_{g}(x))(h):=x(hg^{-1})}$ definiert. Es seien ${\displaystyle L_{G}}$ und ${\displaystyle R_{G}}$ die von ${\displaystyle \{l_{g};\,g\in G\}}$ bzw. ${\displaystyle \{r_{g};\,g\in G\}}$ erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind ${\displaystyle L_{G}}$ und ${\displaystyle R_{G}}$ endlich und gegenseitige Kommutanten.^[1]

Die Spur auf einer endlichen Von-Neumann-Algebra

Ist ${\displaystyle A}$ eine endliche Von-Neumann-Algebra mit Zentrum ${\displaystyle Z}$, so gibt es genau eine lineare Abbildung ${\displaystyle \tau :A\rightarrow Z}$ mit folgenden Eigenschaften^[2][3]:

• ${\displaystyle \tau }$ ist positiv, das heißt aus ${\displaystyle a\geq 0}$ folgt ${\displaystyle \tau (a)\geq 0}$
• ${\displaystyle \tau }$ ist eine Spur, das heißt ${\displaystyle \tau (ab)=\tau (ba)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A}$
• ${\displaystyle \tau }$ ist eine Projektion auf ${\displaystyle Z}$, das heißt ${\displaystyle \tau (z)=z}$ für alle ${\displaystyle z\in Z}$.

Die eindeutig bestimmte Spur heißt die kanonische Spur auf ${\displaystyle A}$. Sie hat zusätzlich folgende Eigenschaften:

• ${\displaystyle \tau }$ ist strikt positiv, das heißt ${\displaystyle a>0}$ folgt ${\displaystyle \tau (a)>0}$
• ${\displaystyle \tau }$ ist ${\displaystyle Z}$-Morphismus, das heißt ${\displaystyle \tau (za)=z\tau (a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A,z\in Z}$.
• ${\displaystyle \tau }$ ist eine Kontraktion, das heißt ${\displaystyle \|\tau (a)\|\leq \|a\|}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$
• ${\displaystyle \tau }$ ist ultraschwach stetig.

Ist umgekehrt ${\displaystyle A}$ eine Von-Neumann-Algebra mit Zentrum ${\displaystyle Z}$ und einer strikt positiven Spur ${\displaystyle \tau :A\rightarrow Z}$, so ist ${\displaystyle A}$ endlich. Ist nämlich ${\displaystyle e_{1}\sim e_{2}\leq e_{1}}$, so gibt es ${\displaystyle v\in A}$ mit ${\displaystyle e_{1}=v^{*}v}$ und ${\displaystyle e_{2}=vv^{*}}$. Daraus folgt ${\displaystyle e_{2}-e_{1}\geq 0}$ und ${\displaystyle \tau (e_{2}-e_{1})=\tau (vv^{*})-\tau (v^{*}v)=0}$ wegen der Spureigenschaft und dann ${\displaystyle e_{2}-e_{1}=0}$ wegen der strikten Positivität. Daher ist jede Projektion in ${\displaystyle A}$ endlich, woraus sich die Endlichkeit von ${\displaystyle A}$ ergibt.

Weitere Charakterisierungen

Typen endlicher Von-Neumann-Algebren

In der Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren sind genau die Typ I_n Algebren mit ${\displaystyle n<\infty }$ und die Typ II₁ Algebren endlich.

Unitäre Äquivalenz von Projektionen

Zwei Projektionen ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ heißen unitär äquivalent, wenn es ein unitäres Element ${\displaystyle u\in A}$ (d. h. ${\displaystyle 1=u^{*}u=uu^{*}}$) gibt mit ${\displaystyle e_{1}=u^{*}e_{2}u}$. Aus der unitären Äquivalenz folgt die gewöhnliche, oben definierte Äquivalenz, denn aus der definierenden Gleichung folgt ${\displaystyle e_{1}=u^{*}e_{2}u=(e_{2}u)^{*}(e_{2}u)}$ und ${\displaystyle (e_{2}u)(e_{2}u)^{*}=e_{2}uu^{*}e_{2}=e_{2}1e_{2}=e_{2}^{2}=e_{2}}$. Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn Äquivalenz und unitäre Äquivalenz übereinstimmen.^[4]

Stetigkeit der Involution

Die Involution auf einer Von-Neumann-Algebra ist im Allgemeinen nicht stetig bzgl. der starken Operatortopologie, wie man am Beispiel des unilateralen Shiftoperators ${\displaystyle s\in L(\ell ^{2})}$ zeigen kann, denn für alle ${\displaystyle \xi =(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{2}}$ gilt ${\displaystyle \|{s^{n}}^{*}\xi \|=\|(\xi _{n+1},\xi _{n+2},\ldots )\|\rightarrow 0}$, aber ${\displaystyle \|s^{n}\xi \|=\|\xi \|}$, was für von 0 verschiedenes ${\displaystyle \xi }$ nicht gegen 0 konvergiert. In endlichen Von-Neumann-Algebren kann so etwas nicht passieren.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn die Involution auf allen beschränkten Mengen stark-stetig ist.^[5]