Exponentialsumme

Eine Exponentialsumme ist in der analytischen Zahlentheorie eine endliche Summe der Form

${\displaystyle S_{f}(N)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n)\right)}$

für ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, wobei ${\displaystyle f:[1,N]\to \mathbb {R} }$ eine (üblicherweise glatte) Funktion und ${\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}$ ist.

Exponentialsummen werden insbesondere in der russischen Literatur (z. B. bei Iwan Winogradow) auch als trigonometrische Summen bezeichnet.

Ist ${\displaystyle f}$ ein reelles Polynom, so bezeichnet man ${\displaystyle S_{f}(N)}$ auch als Weyl-Summe, benannt nach Hermann Weyl.^[1]

Eigenschaften

Die Funktion ${\displaystyle e(x)}$ nennt man additiver Charakter auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f}$ nennt man Amplitudenfunktion und ${\displaystyle N}$ Länge der Summe.

Der Shift des Argumentes wird mit

${\displaystyle S_{f}(N,M):=\sum \limits _{M<n\leq N+M}e\left(f(n)\right)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n+M)\right)}$

notiert, wobei ${\displaystyle f}$ nun auf dem Interval ${\displaystyle [M+1,M+N]}$ definiert sein muss.

Komplexe Verallgemeinerung

Exponentialsummen können für eine reelle Folge ${\displaystyle (a_{n})_{1\leq n\leq N}}$ auch auf

${\displaystyle \sum \limits _{1\leq n\leq N}a_{n}e\left(f(n)\right)}$

verallgemeinert werden. Dies entspricht der obigen Definition der Exponentialsumme mit einer komplexen Funktion ${\displaystyle g:[1,N]\to \mathbb {C} }$, denn es gilt

${\displaystyle e(g(n))=e^{2\pi ig(n)}=e^{2\pi i\operatorname {Re} (g(n))-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}}$

und somit gilt

${\displaystyle a_{n}=e^{-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}.}$

Noch allgemeiner definiert man

${\displaystyle S_{\Phi ,F}(N_{1};\dots ;N_{r})=\sum \limits _{1\leq x_{1}\leq N_{1}}\cdots \sum \limits _{1\leq x_{r}\leq N_{r}}\Phi (x_{1},\dots ,x_{r})e\left(F(x_{1},\dots ,x_{r})\right)}$

für eine beliebige komplex-wertige Funktion ${\displaystyle \Phi }$ und eine reell-wertige Funktion ${\displaystyle F}$.^[2]

Geschichte

Weyl veröffentlichte 1916 als Erster eine Anwendung von Exponentialsummen in der Zahlentheorie (siehe Gleichverteilung modulo 1).^[3] 1921 entwickelte er eine Methode um Weyl-Summen abzuschätzen, welche heute als Weyls Methode bezeichnet wird.^[4]

1921^[5] und 1922^[6] veröffentlichte Johannes van der Corput zwei Arbeiten, aus der eine weitere Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen hervorging und heute als Van der Corputs Methode bezeichnet wird.

1935^[7] und 1936^[8] veröffentlichte Iwan Winogradow eine weitere Methode zur Abschätzung von Weyl-Summen.^[9] Zusätzlich veröffentlichte er 1937 eine Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen mit Primzahlen.^[10][11] Beide Methoden werden heute als Winogradows Methode bezeichnet.

Literatur

• Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.
• Arkhipov, G. I. und Chubarikov, V. N. und Karatsuba, A. A.: Trigonometric sums in number theory and analysis. Transl. from the Russian. In: Berlin: Walter de Gruyter (Hrsg.): De Gruyter Expo. Math. Band 39, 2004, ISBN 3-11-019798-7, doi:10.1515/9783110197983.