Fehler-in-den-Variablen-Modell

In der Statistik sind Fehler-in-den-Variablen-Modelle, auch Messfehlermodelle genannt, Regressionsmodelle für Regression mit stochastischen Regressoren, in der entweder die Antwortvariable oder einige erklärende Variablen mit Fehlern gemessen werden.^[1]

Darstellung einer Regressionsabschwächung durch eine Reihe von Regressionsschätzungen in Fehler-in-den-Variablen-Modellen. Zwei Regressionslinien (rot) begrenzten den Suchraum aus pontenziellen Regressionsfunktionen.

Klassisches Fehler-in-den-Variablen-Modell

→ Hauptartikel: Deming-Regression

Gegeben sei im einfachsten Fall ein einfaches lineares Regressionsmodell^[2]:

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i};\ i=1,\dots ,n}$.

Im klassischen Fehler-in-den-Variablen-Modell wird angenommen, dass ${\displaystyle x_{i}}$ nur mit zufälligem Fehler ${\displaystyle u_{i}}$ beobachtet werden kann, d. h. man hat dann den stochastischen Regressor ${\displaystyle z_{i}=x_{i}+u_{i}}$. Für die Messfehler ${\displaystyle u_{i}}$ wird angenommen, dass sie unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert null und Varianz ${\displaystyle \sigma _{u}^{2}}$, unkorreliert mit ${\displaystyle x_{i}}$ und unkorreliert mit der Störgröße ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ sind.

Konsequenzen von Fehlern in den Variablen

Messfehler in den erklärenden Variablen führen dazu, dass die gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzung nicht konsistent ist. Intuitiv betrachtet kommt es während des Trainings des Modells zu einer Fehlerfortpflanzung, was ohne weitere Gegenmaßnahmen die Qualität des Modells beeinträchtigen kann.