Friis-Formel

Die Friis-Formel dient in der Nachrichtentechnik zur Berechnung der Rauschzahl einer Kette von Verstärkern oder Dämpfungsgliedern, die aus Stufen zusammengesetzt sind, von denen die einzelnen Rauschzahlen F_1,2,... und die Verstärkungsfaktoren G_1,2,... bekannt sind. Die Formel ist benannt nach Harald Friis, welcher diesen Begriff 1944 prägte.^[1]

Definition

Verstärkerkette mit bekannter Verstärkungsfaktoren G_1,2,3 und Rauschzahlen F_1,2,3 der einzelnen Stufen.

Die Friis-Formel zur Ermittlung der Rauschzahl einer Verstärkerkette mit n Elementen ist gegeben durch:

${\displaystyle F_{\text{gesamt}}=1+(F_{1}-1)+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\cdots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}\cdots G_{n-1}}}}$

mit F_n und G_n als Rauschzahl und Verstärkung der n-ten Stufe. Dämpfungsglieder, wie es beispielsweise Kabel darstellen, haben eine Verstärkung G, die kleiner als Eins ist. Die Verstärkungsfaktoren G werden in diesem Zusammenhang auch als Gewinn bezeichnet.

Die Friis-Formel drückt aus, dass das Rauschen der nachfolgenden Verstärkerstufen jeweils um den Gewinn G der vorhergehenden Verstärkerstufen verringert in die gesamte Rauschzahl der Kette eingeht. Somit wird bei identischen Rauschzahlen der Verstärkerstufen derjenige Verstärker insgesamt über die Kette bessere Rauscheigenschaften erbringen, der eine höhere Verstärkung aufweist und möglichst am Anfang der Kette positioniert ist.

Betrachtet man einen rauscharmen Vorverstärker (LNA) als erste Stufe und gibt mit F_rest die Rauschzahl der folgenden Stufen an, so gilt für die Rauschzahl der gesamten Kette:

${\displaystyle F_{\text{gesamt}}=F_{\text{LNA}}+{\frac {F_{\text{rest}}-1}{G_{\text{LNA}}}}}$

Nach dieser Formel kann ein rauscharmer Vorverstärker die Rauschzahl einer Verstärkerkette verringern, sofern die Verstärkung genügend hoch ist.

Friis-Formel für die Rauschtemperatur

Die Friis-Formel kann auch mit der Rauschtemperatur ausgedrückt werden:

${\displaystyle T_{\text{gesamt}}=T_{1}+{\frac {T_{2}}{G_{1}}}+{\frac {T_{3}}{G_{1}\cdot G_{2}}}+\dots }$

Literatur

• Rudolf Müller: Rauschen (= Halbleiter-Elektronik. Band 15). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-51145-8.
• Peter Adam Höher: Grundlagen der digitalen Informationsübertragung. Von der Theorie zu Mobilfunkanwendungen, 2. Auflage, Springer Fachmedien, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1784-6.
• H. Meinke, F. W. Gundlach: Taschenbuch der Hochfrequenztechnik. Band 3: Systeme. 5. Auflage. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-54716-9.
• Frank Gustrau: Hochfrequenztechnik: Grundlagen der mobilen Kommunikationstechnik. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, München 2013, ISBN 978-3-446-43245-1.