GHZ-Experiment

Das GHZ-Experiment, benannt nach den Physikern Greenberger, Horne und Zeilinger, ist ein physikalisches Experiment, das ursprünglich als Gedankenexperiment vorgeschlagen wurde, um das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon zu untersuchen und damit aufgeworfene Fragen zu beantworten. 1989 schlugen Greenberger, Horne und Zeilinger einen Zustand aus drei verschränkten Teilchen vor, bei dem im Gegensatz zu den Bellschen Ungleichungen vier Messungen genügen, um zu zeigen, dass die Quantenmechanik keine klassische Theorie ist, welche die beiden Eigenschaften der Lokalität und Realität erfüllt.^[1]

Nachdem die instrumentellen Möglichkeiten gegeben waren, konnte 1999 durch eine Arbeitsgruppe um Zeilinger erstmals ein entsprechendes Experiment durchgeführt werden. Die Vorhersagen der Quantenmechanik wurden dabei bestätigt.^[2] Aufgrund dieses Resultats konnte auch eine gewisse Klasse von Theorien mit verborgenen Variablen experimentell ausgeschlossen werden.

Bedeutung und Interpretation

Die erstmalige Realisierung eines sogenannten GHZ-Zustands (Greenberger–Horne–Zeilinger) durch Anton Zeilinger und sein Team im Jahr 1999 gilt als wichtiger experimenteller Meilenstein.^[3] Dabei wurden drei Photonen in einem verschränkten Zustand erzeugt. Im Gegensatz zu den Tests der Bellschen Ungleichung genügt beim GHZ-Experiment bereits eine einzige Versuchsdurchführung, um die Unvereinbarkeit lokaler realistischer Theorien mit den Vorhersagen der Quantenmechanik zu zeigen. Die Ergebnisse verschiedener bisher durchgeführter GHZ-Experimente bestätigten die quantenmechanischen Vorhersagen und schlossen eine große Klasse lokal-deterministischer Modelle aus.

Diese Experimente unterstreichen die fundamentale Nichtlokalität der Quantenmechanik und liefern damit auch empirische Anknüpfungspunkte für Interpretationen wie die De-Broglie-Bohm-Theorie, die Nichtlokalität explizit in ihr ontologisches Modell integriert.^[4][5]

Hintergrund

Zwei Teilchen werden gemeinsam in einem verschränkten Zustand erzeugt und fliegen auseinander. Misst man den Zustand eines Teilchens separat, so gibt es zwei mögliche Ergebnisse, ${\displaystyle |0\rangle }$ und ${\displaystyle |1\rangle }$. Die separaten Messergebnisse sind streng korreliert: Wird der Zustand des einen Teilchens gemessen und ist das Ergebnis z. B. ${\displaystyle |1\rangle }$, weiß man, dass das andere Teilchen sich im jeweils anderen Zustand befindet (in diesem Fall also ${\displaystyle |0\rangle }$) – die Messung wird mit 100 %iger Sicherheit dieses Ergebnis haben. Albert Einstein nahm an, dass diese Eigenschaften der Teilchen schon vorher festgelegt sind, bevor man die Messungen durchgeführt hat, und der jeweilige Zustand beim Teilchen bis zur Messung als sogenannte „verborgene Variable“ gespeichert war. Die Quantenmechanik hingegen beschreibt diese beiden Teilchen als eine einzige Wellenfunktion, die für beide Teilchen beide Zustände gleich wahrscheinlich macht. Erst durch Beobachten, durch eine Messung, haben die Teilchen individuelle Zustände (Kollaps der Wellenfunktion), und je nachdem, welcher Zustand bei einem Teilchen gemessen wurde, weiß man nun exakt den Zustand des anderen Teilchens.

Keine der beiden Interpretationen lässt sich mit nur zwei verschränkten Teilchen in einem Experiment beweisen. 1964 fand John Bell aber ein Ungleichungssystem (Bellsche Ungleichung), mit dessen Hilfe sich die Frage experimentell entscheiden lässt. Es handelt sich dabei aber um eine statistische Aussage, streng genommen müsste man daher für eine unwiderlegbare Aussage unendlich vielen Messungen vornehmen. Dem GHZ-Experiment hingegen liegen keine statistischen Aussagen zugrunde; es ermöglicht eine experimentell begründete Analyse bzw. Lösung dieses Widerspruchs.

GHZ-Zustand

Als GHZ-Zustand wird ein maximal verschränkter Zustand von mindestens drei Teilchen bezeichnet, der im Fall von Qubits die Form

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle _{M}=\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M})=\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\ldots 0\rangle +|1\ldots 1\rangle )}$

besitzt. Im einfachsten Fall für drei Teilchen entspricht das

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle _{3}=\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle +|111\rangle ).}$

Ein GHZ-Zustand zeigt bei Messungen im GHZ-Experiment aufgrund seiner Verschränkung Korrelationen, die nicht mit Hilfe von lokalen versteckten Variablen erklärbar sind.

Versuchsdurchführung und -auswertung

Das GHZ-Experiment wird an drei Qubits durchgeführt. Diese werden vor dem Experiment gerade so präpariert, dass sie den oben beschriebenen GHZ-Zustand einnehmen. Nun kann entsprechend den drei Pauli-Matrizen in jeder der drei Raumrichtungen der Zustand jedes einzelnen Qubits gemessen werden. Nach den Gesetzen der Quantenmechanik ergibt sich dabei in jeder der drei Raumrichtungen und aufgrund der besonderen Eigenschaft des GHZ-Zustandes mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder den Wert ${\displaystyle +1}$ oder ${\displaystyle -1}$. Beim GHZ-Experiment werden dann insgesamt vier verschiedene Messungen durchgeführt. Bei jeder dieser vier Messungen werden jeweils alle drei Qubits in einer bestimmten und vorher festgelegten Raumrichtung gemessen. Die vier Messungen werden durch die vier Bezeichnungen ${\displaystyle YYX}$, ${\displaystyle YXY}$, ${\displaystyle XYY}$ und ${\displaystyle XXX}$ festgelegt. Bei der ersten Messung ${\displaystyle YYX}$ wird das erste Qubit in y-Richtung, das zweite Qubit auch in y-Richtung und das dritte Qubit in x-Richtung gemessen. Die drei anderen Messungen werden dann entsprechend der eben erklärten Bezeichnung durchgeführt. Die drei Zwischenergebnisse jeder Einzelmessung werden am Ende einer Messung miteinander multipliziert, so dass jede der vier Messungen erneut nur den Gesamtwert ${\displaystyle +1}$ oder ${\displaystyle -1}$ haben kann. Jeder dieser vier Messungen wird damit ein bestimmtes Tensorprodukt von Pauli-Matrizen mit den folgenden Erwartungswerten zugeordnet:

${\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}Y_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}X_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |X_{1}Y_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =-1,}$

${\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |X_{1}X_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =+1,}$

Diese Erwartungswerte können besonders einfach berechnet werden, wenn der GHZ-Zustand durch die Eigenvektoren der Operatoren der durchzuführenden Messungen und damit der zugehörigen Pauli-Matrizen dargestellt wird. Jeder Zustand eines einzelnen Qubits kann in den Eigenvektoren aller drei Pauli-Matrizen dargestellt werden. Der Eigenzustand des Operators einer Messung in z-Richtung kann also auch durch die Eigenvektoren des Operators einer Messung in Richtung der x-Achse dargestellt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}&|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|X+\rangle +|X-\rangle \right)\\&|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|X+\rangle -|X-\rangle \right)\end{aligned}}}$

und analog die Darstellung durch die Eigenvektoren des Operators einer Messung in Richtung der y-Achse:

${\displaystyle {\begin{aligned}&|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|Y+\rangle +|Y-\rangle \right)\\&|1\rangle ={\frac {-i}{\sqrt {2}}}\left(|Y+\rangle -|Y-\rangle \right).\end{aligned}}}$

Damit gilt dann:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|000\rangle +|111\rangle \right)={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)\otimes |X+\rangle +{\frac {1}{2}}\left(|00\rangle -|11\rangle \right)\otimes |X-\rangle }$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}&|00\rangle +|11\rangle =|Y+Y-\rangle +|Y-Y+\rangle \\&|00\rangle -|11\rangle =|Y+Y+\rangle +|Y-Y-\rangle .\end{aligned}}}$

Für die Messung YYX können deshalb nur die Kombinationen ${\displaystyle Y+Y-X+}$, ${\displaystyle Y-Y+X+}$, ${\displaystyle Y+Y+X-}$ und ${\displaystyle Y-Y-X-}$ gemessen werden. Bei allen vier Möglichkeiten ergibt die Multiplikation der einzelnen drei Messwerte der einzelnen Qubits immer ${\displaystyle -1}$. Für den Erwartungswert der Messung YYX ergibt sich damit der oben angegebene Wert ${\displaystyle -1}$. Eine entsprechende Rechnung kann auch für die anderen drei Messungen durchgeführt werden. Diese Rechnung zeigt also, dass das Produkt der Ergebnisse aller zwölf Einzelmessungen nach den Gesetzen der Quantenmechanik immer den Wert ${\displaystyle -1}$ ergeben muss, was experimentell auch mehrfach bestätigt wurde.

Dieses Ergebnis steht im Widerspruch zu der Annahme, dass die Ergebnisse jeder Messung eines Qubits bereits durch die Präparation des GHZ-Zustandes eindeutig festgelegt werden. Da jedes Qubit im Laufe der vier Messungen in jeder Richtung jeweils zweimal gemessen wird, wäre dann der Wert ${\displaystyle +1}$ zu erwarten.

Siehe auch

• Verborgene Variablen
• Quantenmechanische Messung
• Interpretationen der Quantenmechanik

Literatur

• Daniel M. Greenberger, Michael A. Horne, Abner Shimony, Anton Zeilinger: Bell's theorem without inequalities. In: Am. J. Phys. 58, Nr. 12, 1990, S. 1131–1143 (doi:10.1119/1.16243, sowie die dort aufgeführten Referenzen).