Gewinnfunktion

Als Gewinnfunktion (seltener auch Profitfunktion) bezeichnet man in der Mikroökonomik und dort speziell in der Theorie des Unternehmens eine mathematische Funktion, die für gegebene Preise der Produktionsfaktoren sowie für einen gegebenen Absatzpreis des produzierten Gutes angibt, wie hoch der damit maximal erreichbare Gewinn des Unternehmens ist.

Vollständiger Wettbewerb

Man bezeichne mit ${\displaystyle y}$ die von einem Unternehmen produzierte Menge eines Gutes und mit ${\displaystyle p}$ den Marktpreis des Gutes. Das Gut wird unter Verwendung verschiedener Produktionsfaktoren (zum Beispiel Arbeit und Kapital) hergestellt. Sei nun ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ die zugehörige Produktionsfunktion. Die Produktionsfunktion ist eine (reellwertige) Funktion, die für einen gegebenen Faktoreinsatz die damit maximal erzielbare Outputmenge angibt. ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ist der Vektor der Faktoreinsätze ${\displaystyle x_{1}}$ (Menge von Faktor 1), ${\displaystyle x_{2}}$ (Menge von Faktor 2) und so weiter. Sei weiter ${\displaystyle \mathbf {w} =(w_{1},\ldots ,w_{n})}$ der Vektor der zugehörigen Faktorpreise ${\displaystyle w_{1}}$ (Preis einer Einheit von Produktionsfaktor 1), ${\displaystyle w_{2}}$ (Preis einer Einheit von Produktionsfaktor 2) und so weiter. Der Marktpreis des produzierten Gutes und die Faktorpreise seien alle ${\displaystyle \geq 0}$.

Dann ist der damit maximal erreichbare Gewinn des Unternehmens gegeben durch die Gewinnfunktion

${\displaystyle \pi (p,\mathbf {w} )\equiv \max _{(\mathbf {x} ,y)\geq \mathbf {0} }py-\mathbf {w} \cdot \mathbf {x} }$   unter der Nebenbedingung ${\displaystyle \;f(\mathbf {x} )\geq y}$

Die Gewinnfunktion gibt also an, wie viel Gewinn ein Unternehmen bei einem gegebenen Güterpreis und gegebenen Faktorpreisen maximal erzielen kann (unter der Nebenbedingung, dass die Produktivitätsgrenze eingehalten wird). Kennt man die Gewinnfunktion, so kann man also zum Beispiel direkt sagen, wie sich die optimale Produktionsmenge des gewinnmaximierenden Unternehmers verändert, wenn sich der Marktpreis des Gutes um ein Prozent erhöht.

Eigenschaften

Es lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle \mathbf {\pi } (p,\mathbf {w} )}$ unter der Voraussetzung, dass die zugrunde liegende Produktionsfunktion ${\displaystyle f}$ stetig, streng monoton steigend und strikt quasikonkav auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist, und dass ${\displaystyle f(\mathbf {0} )=0}$, unter anderem folgende Eigenschaften erfüllt:^[1]

• monoton steigend in ${\displaystyle p}$;
• monoton fallend in ${\displaystyle \mathbf {w} }$;
• homogenität vom Grad eins in ${\displaystyle (p,\mathbf {w} )}$, das heißt ${\displaystyle \pi (\alpha p,\alpha \mathbf {w} )=\alpha \pi (p,\mathbf {w} )}$ für alle ${\displaystyle p,\mathbf {w} }$ und ${\displaystyle \alpha >0}$;
• konvex in ${\displaystyle (p,\mathbf {w} )}$;
• differenzierbar in ${\displaystyle (p,\mathbf {w} )}$, sofern der Marktpreis des produzierten Gutes und die Faktorpreise alle strikt positiv sind.

Betriebswirtschaftliches Konzept

→ Hauptartikel: Gewinnmaximierung

Unter der Annahme der Gewinnmaximierung ergibt sich die Gewinnfunktion des Unternehmens in Abhängigkeit zum Absatzvolumen.^[2]

Siehe auch

• Hotellings Lemma

Literatur

• Geoffrey A. Jehle, Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Auflage. Pearson, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.