Hurwitzpolynom

Ein reelles Polynom (alle $a_{i}\in \mathbb {R}$ )

N(s)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{0}

wird also Hurwitzpolynom genannt, wenn gilt:

N(r_{i})=0\,\Rightarrow \,\mathrm {Re} \,r_{i}<0,\quad i=1,\ldots ,n.

Für den Fall eines Polynoms 1. oder 2. Grades ( $n\leq 2$ ) kann man zeigen, dass die Koeffizienten des normierten Hurwitzpolynoms ( $a_{n}=1$ ) positiv sein müssen. Im Umkehrschluss muss ein solches normiertes Polynom mit reellen Koeffizienten, bei dem ein Koeffizient kleiner oder gleich Null ist, eine Nullstelle haben, die keinen echt negativen Realteil besitzt. Die Bedingung, dass die Koeffizienten positiv sind, ist also notwendig und auch hinreichend.

Für $n\geq 3$ (ein Polynom dritten oder höheren Grades) wird eine neue hinreichende und notwendige Bedingung benötigt: die Hurwitzdeterminante.

Das Hurwitz-Kriterium oder Routh-Hurwitz-Kriterium gibt eine äquivalente Bedingung dafür, dass ein Polynom ein Hurwitz-Polynom ist. Es handelt sich um eine Anwendung des allgemeinen Hauptminoren-Kriteriums für die positive Definitheit von Matrizen; vereinzelt wird für dieses allgemeinere Kriterium auch der Begriff „Hurwitz-Kriterium“ synonym verwendet, obwohl sich dieses eigentlich nur auf Hurwitzpolynome bzw. Hurwitz-Matrizen bezieht.

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass der Leitkoeffizient $a_{n}$ positiv ist. Ist dieses im ursprünglichen Polynom nicht der Fall, kann es durch Multiplikation des Polynoms mit $-1$ erreicht werden. Dabei ändern sich die Nullstellen des Polynoms nicht. Aus den Koeffizienten des Polynoms $a_{0},\ldots ,a_{n}$ wird zunächst die Determinante der Hurwitzmatrix, die sogenannte Hurwitzdeterminante gebildet. Hierbei ist die Hurwitzmatrix den Koeffizienten $a_{0},\ldots ,a_{n}$ entsprechend eine $n\times n$ -Matrix. (s. u.)

H={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}&\ldots &0&0&0\\a_{n}&a_{n-2}&a_{n-4}&\ldots &0&0&0\\0&a_{n-1}&a_{n-3}&\ldots &\ldots &0&0\\0&a_{n}&a_{n-2}&\ldots &\ldots &0&0\\0&0&a_{n-1}&\ldots &\ldots &\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{0}\\\end{vmatrix}}

Nicht vorhandene Koeffizienten werden also durch eine Null ausgedrückt.

Hurwitz-Kriterium: Das Polynom ist genau dann ein Hurwitzpolynom, wenn alle „nordwestlichen Unterdeterminanten“ (auch führende Hauptminoren genannt) positiv sind. Die Matrix ist dann positiv definit.

Im Beispiel sind die nordwestlichen Unterdeterminanten für den Fall $n=3$ :

{\begin{aligned}H_{1}&={\begin{vmatrix}a_{2}\end{vmatrix}}&&=a_{2}>0\\[2mm]H_{2}&={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\a_{0}&a_{1}\\\end{vmatrix}}&&=a_{1}a_{2}-a_{3}a_{0}>0\\[2mm]H_{3}&={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}&0\\a_{0}&a_{1}&a_{2}\\0&0&a_{0}\\\end{vmatrix}}&&=a_{0}H_{2}>0\end{aligned}}

Falls $H_{2}>0$ ist, vereinfacht sich natürlich die dritte Bedingung zu $a_{0}>0$ . Die Forderung $a_{1}a_{2}>a_{3}a_{0}$ ist zum Beispiel für $a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$ nicht erfüllt.

In der Literatur finden sich auch andere Definitionen der Hurwitzmatrix. Die Koeffizienten sind oft anders benannt. Hurwitz selber hat in seiner Veröffentlichung das Polynom mit $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}$ angesetzt. In diesem Fall wird die Hurwitzdeterminante folgendermaßen gebildet:

H={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0&0&\ldots &\ldots \\a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&\ldots &\ldots \\a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&\ldots &\ldots \\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&\ldots &\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{n-2}\\0&0&\ldots &\ldots &0&a_{n}\\\end{vmatrix}}

Für zweidimensionale Matrizen

Für den Fall $n=2$ vereinfacht sich das Hurwitz-Kriterium zur Bedingung

\mathrm {Spur} \,H<0\ \ {\text{und}}\ \ \det H>0

d. h. die Summe der Hauptdiagonalen (Spur) der Matrix muss negativ, und ihre Determinante positiv sein.

Definition und notwendige Bedingung

Hurwitz-Kriterium

Für zweidimensionale Matrizen

Anwendung

Literatur

Weblinks

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