Determinante

In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert, und ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Allgemeiner kann man jeder linearen Selbstabbildung (Endomorphismus) eine Determinante zuordnen. Übliche Schreibweisen für die Determinante einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A}$ sind ${\displaystyle \det(A)}$, ${\displaystyle \det A}$ oder ${\displaystyle |A|}$.

Die 2x2-Determinante ist gleich dem orientierten Flächeninhalt des von ihren Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Determinante (Begriffsklärung) aufgeführt.

Zum Beispiel kann die Determinante einer ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}}$

mit der Formel

${\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$

berechnet werden.

Mit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Schreibt man ${\displaystyle n}$ Vektoren im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als Spalten einer quadratischen Matrix, so kann die Determinante dieser Matrix gebildet werden. Bilden bei dieser Festlegung die ${\displaystyle n}$ Vektoren eine Basis, so kann das Vorzeichen der Determinante dazu verwendet werden, die Orientierung von euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante entspricht zugleich dem Volumen des n-Parallelotops (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird.

Wird die lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ durch die Matrix ${\displaystyle A}$ repräsentiert und ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine beliebige messbare Teilmenge, dann folgt, dass das Volumen von ${\displaystyle f(S)}$ durch ${\displaystyle \left|\det A\right|\cdot \operatorname {Volumen} (S)}$ gegeben ist.

Wird die lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ durch die ${\displaystyle m\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$ repräsentiert und ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine beliebige messbare Teilmenge, so gilt im Allgemeinen, dass das ${\displaystyle m}$-dimensionale Volumen von ${\displaystyle f(S)}$ durch ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\det(A^{T}A)}}\cdot \operatorname {Volumen} (S)}$ gegeben ist, siehe Gramsche Determinante.

Das Konzept der Determinante ist von Interesse für ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen mit ${\displaystyle n>1}$. Für ${\displaystyle n=1}$ verkommt es zur Trivialität ${\displaystyle \det a=a}$: So besteht ein lineares Gleichungssystem für den Fall ${\displaystyle n=1}$ aus einer Gleichung ${\displaystyle ax=b}$. Lösbarkeitskriterium und -strategie für diese Gleichung sind bekannt: Falls ${\displaystyle a\neq 0}$, setze ${\displaystyle x:=a^{-1}b}$.

Definition

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Determinante zu definieren (s. unten). Die gebräuchlichste ist die folgende rekursive Definition.

Entwicklung der Determinante nach einer Spalte oder Zeile:

Für n = 2:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$

Für n = 3: Entwicklung nach der 1. Spalte

${\displaystyle |A|={\begin{vmatrix}{\color {red}a_{11}}&a_{12}&a_{13}\\{\color {blue}a_{21}}&a_{22}&a_{23}\\{\color {red}a_{31}}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}={\color {red}a_{11}}\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &a_{22}&a_{23}\\\Box &a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {blue}a_{21}}\,{\begin{vmatrix}\Box &a_{12}&a_{13}\\\Box &\Box &\Box \\\Box &a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {red}a_{31}}\,{\begin{vmatrix}\Box &a_{12}&a_{13}\\\Box &a_{22}&a_{23}\\\Box &\Box &\Box \end{vmatrix}}}$

${\displaystyle ={\color {red}a_{11}}\,{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {blue}a_{21}}\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {red}a_{31}}\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}}$

Entsprechend für n = 4, …

Der Laplacesche Entwicklungssatz (s. unten) sagt:

• Man darf eine Determinante nach einer beliebigen Spalte oder Zeile entwickeln, solange man das schachbrettartige Vorzeichenmuster einhält:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\color {red}+}&{\color {blue}-}&{\color {red}+}&\cdots \\{\color {blue}-}&{\color {red}+}&{\color {blue}-}&\cdots \\{\color {red}+}&{\color {blue}-}&{\color {red}+}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{vmatrix}}}$

Formal lässt sich das so schreiben:

${\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det A_{ij}}$ (Entwicklung nach der ${\displaystyle j}$-ten Spalte)

${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det A_{ij}}$ (Entwicklung nach der ${\displaystyle i}$-ten Zeile),

wobei ${\displaystyle A_{ij}}$ die ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$-Untermatrix von ${\displaystyle A}$ ist, die durch Streichen der ${\displaystyle i}$-ten Zeile und ${\displaystyle j}$-ten Spalte entsteht.

Beispiel:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{vmatrix}}=0\cdot {\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}}-3\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}}+1\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle =0\cdot (2\cdot 0-1\cdot 1)-3\cdot (1\cdot 0-1\cdot 2)+1\cdot (1\cdot 1-2\cdot 2)=0+6-3=3}$

Eigenschaften

1. ${\displaystyle \det E=1}$ für Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$
2. ${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$, wobei ${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$ die transponierte Matrix von ${\displaystyle A}$ ist.
3. ${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}.}$
4. Für quadratische Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz:

   ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$.

5. ${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$ für eine ${\displaystyle n\times n}$ Matrix ${\displaystyle A}$ und eine Zahl ${\displaystyle c}$.
6. Für eine Dreiecksmatrix ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}}$.
7. Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen, ist die Determinante 0.
8. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich, ist die Determinante 0.
9. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen), so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
10. Sind ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und ${\displaystyle c}$ eine Zahl, so gelten:

    a1) ${\displaystyle \det(v_{1}+{\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})=\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})+\det({\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})}$,

    a2) ${\displaystyle \det({\color {red}c}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})={\color {red}c}\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$,

    entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren).

    b) ${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n = 2) des von den Vektoren ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ aufgespannten Polytopes (Parallelogramm).

11. Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauß-Algorithmus zu einer Dreiecksmatrix umformen und Eigenschaft 6 zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaften 9 und 10.a2).
12. Nur für ${\displaystyle 3\times 3}$-Determinanten gilt die Regel von Sarrus:

Regel von Sarrus

Beispiel, Anwendung der Regeln 11, 10, 8:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2&3\\3&3&3\\6&6&6\end{vmatrix}}=2{\begin{vmatrix}1&2&3\\3&3&3\\3&3&3\end{vmatrix}}=0}$

Axiomatische Beschreibung

Eine Abbildung ${\displaystyle \det \colon K^{n\times n}\to K}$ vom Raum der quadratischen Matrizen in den zugrunde liegenden Körper ${\displaystyle K}$ bildet jede Matrix auf ihre Determinante ab, wenn sie folgende drei Eigenschaften (Axiome nach Karl Weierstraß)^[1] erfüllt, wobei eine quadratische Matrix spaltenweise als ${\displaystyle A=(v_{1},\dotsc ,v_{n})}$ geschrieben wird:

• Sie ist multilinear, d. h. linear in jeder Spalte:

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n},w\in K^{n}}$ gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i}+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\\&=\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})+\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\end{aligned}}}$

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und alle ${\displaystyle r\in K}$ gilt:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},r\cdot v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})=r\cdot \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

• Sie ist alternierend, d. h., wenn in zwei Spalten das gleiche Argument steht, ist die Determinante gleich 0:

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und alle ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}$ gilt:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v_{i},v_{j+1}\ldots ,v_{n})=0}$

Hieraus folgt, dass sich das Vorzeichen ändert, wenn man zwei Spalten vertauscht:

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und alle ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}$ gilt:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{n})=-\det(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$

Oft wird diese Folgerung zur Definition von alternierend verwendet. Im Allgemeinen ist diese jedoch nicht zur obigen äquivalent. Wird alternierend nämlich auf die zweite Weise definiert, gibt es keine eindeutige Determinantenform, wenn der Körper, über dem der Vektorraum gebildet wird, ein von 0 verschiedenes Element ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle x=-x}$ besitzt (Charakteristik 2).

• Sie ist normiert, d. h., die Einheitsmatrix hat die Determinante 1:

${\displaystyle \det E_{n}=1}$

Es lässt sich beweisen (und Karl Weierstraß hat dies 1864 oder sogar früher getan),^[2] dass es eine und nur eine solche normierte alternierende Multilinearform auf der Algebra der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über dem zugrundeliegenden Körper gibt – nämlich diese Determinantenfunktion ${\displaystyle \det }$ (Weierstraßsche Determinantenkennzeichnung).^[3] Auch die schon erwähnte geometrische Interpretation (Volumeneigenschaft und Orientierung) folgt daraus.

Leibniz-Formel

Für eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix wurde die Determinante von Gottfried Wilhelm Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel für die Determinante einer Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})\in K^{n\times n}}$ definiert:

${\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)}$

Die Summe wird über alle Permutationen ${\displaystyle \sigma }$ der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ vom Grad n berechnet. ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$ bezeichnet das Signum der Permutation ${\displaystyle \sigma }$ (+1, falls ${\displaystyle \sigma }$ eine gerade Permutation ist, und −1, falls sie ungerade ist) und ${\displaystyle \sigma (i)}$ ist der Funktionswert der Permutation ${\displaystyle \sigma }$ an der Stelle ${\displaystyle i}$.

Beispielhaft für eine ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{\text{11}}&a_{\text{12}}&a_{\text{13}}\\a_{\text{21}}&a_{\text{22}}&a_{\text{23}}\\a_{\text{31}}&a_{\text{32}}&a_{\text{33}}\end{pmatrix}}}$

Für ${\displaystyle n=3}$ enthält die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ alle ${\displaystyle 3!=6}$ Permutationen, in welchen die Zahlen 1, 2 und 3 angeordnet werden können: ${\displaystyle (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}$.

Für jede dieser Permutationen wird die Parität berechnet, welche negativ ist, wenn die Anzahl ihrer Fehlstände ungerade ist, und positiv, wenn nicht.
Dann wird das Produkt der Einträge der Matrix von ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ berechnet, wobei der erste Index ${\displaystyle i}$, der zweite Index die Zahl ist, auf den der ${\displaystyle i}$-te Eintrag der Permutation abbildet.

Für die Permutation ${\displaystyle (1,2,3)}$ ergibt das ${\displaystyle +a_{\text{11}}a_{\text{22}}a_{\text{33}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (1,3,2)}$ ergibt das ${\displaystyle -a_{\text{11}}a_{\text{23}}a_{\text{32}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (2,1,3)}$ ergibt das ${\displaystyle -a_{\text{12}}a_{\text{21}}a_{\text{33}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (2,3,1)}$ ergibt das ${\displaystyle +a_{\text{12}}a_{\text{23}}a_{\text{31}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (3,1,2)}$ ergibt das ${\displaystyle +a_{\text{13}}a_{\text{21}}a_{\text{32}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (3,2,1)}$ ergibt das ${\displaystyle -a_{\text{13}}a_{\text{22}}a_{\text{31}}}$.

Die Summe dieser Terme ergibt dann die Determinante der ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix:

${\displaystyle \det(A)=a_{\text{11}}a_{\text{22}}a_{\text{33}}-a_{\text{11}}a_{\text{23}}a_{\text{32}}-a_{\text{12}}a_{\text{21}}a_{\text{33}}+a_{\text{12}}a_{\text{23}}a_{\text{31}}+a_{\text{13}}a_{\text{21}}a_{\text{32}}-a_{\text{13}}a_{\text{22}}a_{\text{31}}}$

Durch eine Umordnung der Terme wird ersichtlich, dass dies für eine ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix äquivalent mit der Regel von Sarrus ist:

${\displaystyle \det(A)=a_{\text{11}}a_{\text{22}}a_{\text{33}}+a_{\text{12}}a_{\text{23}}a_{\text{31}}+a_{\text{13}}a_{\text{21}}a_{\text{32}}-a_{\text{13}}a_{\text{22}}a_{\text{31}}-a_{\text{11}}a_{\text{23}}a_{\text{32}}-a_{\text{12}}a_{\text{21}}a_{\text{33}}}$

Die Leibniz-Formel enthält ${\displaystyle n!}$ Summanden und wird deshalb schnell umso unhandlicher, je größer ${\displaystyle n}$ ist. Sie eignet sich jedoch gut zum Beweis von Aussagen über Determinanten. Beispielsweise ist mit ihrer Hilfe die Stetigkeit der Determinantenfunktion ersichtlich.

Eine alternative Schreibweise der Leibniz-Formel verwendet das Levi-Civita-Symbol und die Einsteinsche Summenkonvention:

${\displaystyle \det A=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}}$

Determinante eines Endomorphismus

Da ähnliche Matrizen die gleiche Determinante haben, kann man die Definition der Determinante von quadratischen Matrizen auf die durch diese Matrizen dargestellten linearen Selbstabbildungen (Endomorphismen) übertragen:

Die Determinante ${\displaystyle \det f}$ einer linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ in sich ist die Determinante ${\displaystyle \det A}$ einer Darstellungsmatrix ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle f}$ bezüglich einer Basis von ${\displaystyle V}$. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Hierbei kann ${\displaystyle V}$ ein beliebiger endlichdimensionaler Vektorraum über einem beliebigen Körper ${\displaystyle K}$ sein. Allgemeiner kann man auch einen kommutativen Ring ${\displaystyle K}$ mit Einselement und einen freien Modul vom Rang ${\displaystyle n}$ über ${\displaystyle K}$ betrachten.

Die Definition lässt sich ohne Verwendung von Matrizen folgendermaßen formulieren: Es sei ${\displaystyle \omega }$ eine Determinantenfunktion. Dann ist ${\displaystyle \det f}$ bestimmt durch ${\displaystyle f^{*}\omega =\left(\det f\right)\omega }$, wobei ${\displaystyle f^{*}}$ der Rücktransport von Multilinearformen durch ${\displaystyle f}$ ist. Es sei ${\displaystyle \left(v_{1},\dotsc ,v_{n}\right)}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$. Dann gilt:

${\displaystyle \det f:={\frac {\omega \left(f\left(v_{1}\right),\dotsc ,f\left(v_{n}\right)\right)}{\omega \left(v_{1},\dotsc ,v_{n}\right)}}}$

Es ist ${\displaystyle \det f}$ unabhängig von der Wahl von ${\displaystyle \omega \neq 0}$ und der Basis. Geometrisch interpretiert erhält man das Volumen des von ${\displaystyle \left(f\left(v_{1}\right),\dotsc ,f\left(v_{n}\right)\right)}$ aufgespannten Spates, indem man das Volumen des von ${\displaystyle \left(v_{1},\dotsc ,v_{n}\right)}$ aufgespannten Spates mit dem Faktor ${\displaystyle \det f}$ multipliziert.

Eine alternative Definition ist die folgende: Es sei ${\displaystyle n}$ die Dimension von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$ die ${\displaystyle n}$-te äußere Potenz von ${\displaystyle V}$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\displaystyle \Lambda ^{n}f\colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$, die durch

${\displaystyle v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n}\mapsto f\left(v_{1}\right)\wedge \dotsb \wedge f\left(v_{n}\right)}$