ICC-Gruppe

ICC-Gruppen sind in der Mathematik betrachtete Gruppen mit unendlichen Konjugationsklassen. Die Abkürzung ICC steht für die englische Bezeichnung infinite conjugacy classes.

Definition

Eine Gruppe mit mindestens zwei Elementen heißt ICC-Gruppe, falls jede von ${\displaystyle \{e\}}$ verschiedene Konjugationsklasse unendlich ist, wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe sei.^[1][2]

Das bedeutet, dass für jedes Element ${\displaystyle x\not =e}$ die Menge ${\displaystyle \{yxy^{-1}|\,y\in G\}}$ eine unendliche Menge ist.

Bemerkungen

• ICC-Gruppen sind unendlich und in hohem Grade nicht-kommutativ. Das Zentrum einer ICC-Gruppe besteht nur aus dem neutralen Element.
• Die linksreguläre Darstellung einer diskreten ICC-Gruppe auf sich erzeugt einen Typ-II₁-Faktor auf ${\displaystyle \ell ^{2}(G)}$. Daher rührt ihre Bedeutung.^[3]

Beispiele

• Die freie Gruppe mit ${\displaystyle n\geq 2}$ vielen Erzeugern ist eine ICC-Gruppe.^[4]
• Die Gruppe der endlichen Permutationen von ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ist eine ICC-Gruppe, sie ist die Gruppe der von allen Transpositionen auf ${\displaystyle \mathbb {N} }$ erzeugten Untergruppe der vollen Permutationsgruppe.^[5]
• Kartesische Produkte endlich vieler ICC-Gruppen sind wieder ICC-Gruppen.^[1]